Lösung der Aufgabe 8.8
Wie im nichtrelativistischen Fall, findet die Bewegung in einer Ebene,
z.B. der 
-
Ebene statt. Mit der Standardnotation
lauten die Bewegungsgleichungen im relativistischen Fall in ebenen Polarkoordinaten
(siehe Aufg. 8.5)
Es ist nützlich, zunächst die Erhaltungssätze des relativistischen
Coulombproblems zu betrachten. Es gilt der Energiesatz
und der Drehimpulssatz
Der Energiesatz lautet in Worten: Die Summe aus der Energie des Elektrons
(Ruheenergie plus kinetische Energie) und dessen potentieller Energie in
dem Coulombfeld ist eine Erhaltungsgröße.)
Die Bewegungsgleichung für die Radialkoordinate kann, wie im nichtrelativistischen
Fall, nicht in einfacher Weise integriert werden. Man kann jedoch eine
Differentialgleichung für die Bahn des Elektrons gewinnen. Man beginnt
mit der allgemeinen kinematischen Aussage
bringt die Erhaltungssätze Stück um Stück ein und erhält
Diese Differentialgleichung, in der nur
und 
auftreten, ist die
gesuchte Bestimmungsgleichung für die Bahn des
Elektrons in dem relativistischen Coulombproblem.
Eine Vereinfachung ergibt sich mit der Substitution
zu
Diese Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung vom
harmonischen Oszillatortyp mit einem konstanten inhomogenen Term
mit
Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung für 
lautet
Wählt man als Achse, auf die der Winkel 
bezogen wird, den Punkt an
dem Geschwindigkeits- und Positionsvektor senkrecht aufeinander stehen,
so findet man, dass 
gesetzt werden kann.
Die so ausgewählte Lösung ist
Ist 
bzw. 
, so lautet die Differentialgleichung für die Bahn
Die allgemeine Lösung lautet in diesem Fall
Die Bedingung für die Achsenwahl liefert 
und somit
Der nichtrelativistische Limit der Bahngleichung
entspricht genau der Kegelschnittgleichung des Keplerproblems, wenn man
setzt (
ist die Gravitationskonstante und 
die Masse des
Zentralkörpers).
Die vollständige Lösung des relativistischen Falls kann am besten in der
Form
diskutiert werden. Dabei sind die Parameter
Die verbleibende Integrationskonstante 
(bzw. 
) kann z.B.
durch Vorgabe des Anfangspunktes der Bahn
zu
festgelegt werden.
Falls der minimal mögliche Drehimpuls den Wert
hat,
gilt für den Parameter 
mit
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<Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie, Aufgabensammlung> R. Dreizler C. Lüdde
2005
