8.8 Das relativistische Coulombproblem

Die Diskussion der klassischen Bewegung eines Elektrons im elektrischen Feld eines Protons entspricht dem Keplerproblem der klassischen Mechanik. Nachdem N. Bohr 1913 durch `Quantisierung` des klassischen Coulombproblems eine erfolgreiche, wenn auch zu einfache Erklärung der Spektren des Wasserstoffatoms gefunden hatte, lag es nahe, die Quantisierung des relativistischen Coulombproblems in Angriff zu nehmen. Insbesondere A. Sommerfeld hat sich dieser Frage gestellt. Er hat auf diese Weise die Feinstrukturkonstante gefunden, die in vielen Gebieten der Mikrophysik eine wesentliche Rolle spielt, ist aber in Bezug auf die Erklärung von relativistischen Effekten im Wasserstoffproblem (und in wasserstoffähnlichen Problemen: ein Elektron im Feld eines Kerns mit der Ladung ) letztlich gescheitert. Erst P.A.M. Dirac konnte 1928 durch Einbeziehung des Elektronspins eine zufriedenstellende Antwort geben, die im Rahmen der Quantenelektrodynamik noch verfeinert wurde. Hier steht das klassische, relativistische Coulombproblem in voller Schönheit zur Debatte. Details zu den Bahnformen werden in den zwei folgenden Aufgaben sortiert.

Aufgabenstellung

Betrachte die Bewegung eines Elektrons (Ladung , Ruhemasse ) im Feld einer Punktladung unter Einbeziehung relativistischer Effekte. Diskutiere die Erhaltungssätze für Energie und Drehimpuls und stelle die Differentialgleichung für die (ebene) Bahnkurve auf. Gib die Lösung dieser Differentialgleichung an. Eine Zusatzfrage:
Unter der Annahme, dass der minimal mögliche Drehimpuls des Elektrons gemäß der Quantenmechanik (mit der Planckschen Konstante erg s) ist, hat Sommerfeld z.B. die Feinstrukturkonstante

gewonnen. An welcher Stelle des relativistischen Coulombproblems tritt diese Konstante auf? Was ist ihr Zahlenwert?


Rechne im CGS System.


Werkzeuge:

Einige trickreiche Formeln:

wobei die Gesamtenergie des relativistischen Wasserstoffproblems ist. Das Virialtheorem (siehe ) des Wasserstoffproblems lautet

in Worten: die zweifache kinetische Energie entspricht dem Betrag der potentiellen Energie.

Fragen zur schrittweisen Gewinnung der Lösung

Lösung

Aufruf der Lösung

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