2 Konvergenzkriterien für Taylorreihen.

Im Rahmen der Diskussion von Potenzreihen ist noch die Frage offen, unter welchen Bedingungen eine Taylorreihe die zugehörige Funktion wirklich darstellt. Die Antwort auf diese Frage ergibt sich über die Betrachtung der Konvergenz von Potenzreihen. Die Grundaussage zu der Konvergenz von Potenzreihen lautet:

Damit ist die Betrachtung der Konvergenz von Potenzreihen auf die Betrachtung der Konvergenz von numerischen Reihen (für jeden -Wert aus dem Intervall) zurückgeführt. Das größte Intervall um die Stelle , in dem die Potenzreihe noch konvergiert, sei durch gegeben. Die Zahl bezeichnet man als den Konvergenzradius (siehe Abb. 1.14).

Abbildung 1.14: Illustration des Konvergenzradius

Zur Bestimmung des Konvergenzradius von Potenzreihen kann man sich entweder auf das Wurzel- oder das Quotientenkriterium stützen. Im Fall des Wurzelkriteriums folgt aus der Bedingung

die Aussage

Im Fall des Quotientenkriterium ergibt

Es gelten also, unter Einbeziehung der komplementären Divergenzkriterien, die Aussagen:

Für die Potenzreihen aus Math.Kap. 1.3.1 kann man die folgenden Konvergenzaussagen festhalten: Für die Exponentialreihe

Die Reihe ergibt für jeden (noch so großen) -Wert mit einen endlichen Summenwert. Dies mag etwas erstaunlich erscheinen, wenn man z.B. die Exponentialreihe mit betrachtet. Die Reihe beginnt mit

Trotz allem Anschein nehmen die einzelnen Beiträge wieder ab. Der größte Beitrag ist von der Größenordnung und der Summenwert ist .
Für die Sinusreihe

während sich für die binomische Reihe

ergibt (vergleiche die Diskussion der Konvergenz der geometrischen Reihe).