1 Anschauliche Vektorrechnung

Die erste Definition lautet

{

Beispiele für skalare Größen in der Physik sind Masse, Energie, Temperatur etc. Ein Beispiel aus der analytischen Geometrie wäre eine Strecke.
Die zweite Definition lautet

Ein Beispiel ist der Verschiebungsvektor. Mit der Aussage: Geht man von einem Punkt aus km, liegt der Endpunkt keineswegs fest. Der Endpunkt liegt irgendwo auf einem Kreis um den Ausgangspunkt . Man benötigt neben dem Zahlenwert eine zusätzliche Information, wie z.B. in nordöstlicher Richtung, um den Endpunkt eindeutig festzulegen.

Abbildung 3.1: Verschiebungsvektor

Gerichtete Strecken (und allgemeiner Vektoren) werden durch einen Pfeil dargestellt, der Anfangspunkt und Endpunkt verbindet (siehe Abb. 3.1). Die übliche Schreibweise für einen Verschiebungsvektor (oder Positionsvektor) ist¹⁰

bzw. mehr kalligraphische Varianten. Eine zweite Verabredung zur Notation ist an dieser Stelle festzuhalten. Die Länge der gerichteten Strecke (allgemein der Betrag eines Vektors) wird in der Form

geschrieben. Beispiele für vektorielle Größen in der Physik sind Kräfte (es spielt eine Rolle, in welcher Richtung man zieht oder schiebt), Geschwindigkeit, Drehimpuls, elektrische oder magnetische Felder, etc.
Trotz der einfachen Definition kann man einige Feinheiten notieren. Man unterscheidet:

• Feste Vektoren, deren Anfangspunkt strikt festgelegt ist, wie z.B. Verschiebungsvektoren, die an einem bestimmten Ort beginnen.
• Linienflüchtige Vektoren, deren Anfangspunkt entlang einer Geraden, die durch die Richtung des Vektors festgelegt ist, verschoben werden können. Kraftvektoren sind Beispiele für solche Vektoren, da man den Angriffspunkt z.B. durch ein `Seil` verschieben könnte.
• Freie Vektoren können unter Beibehaltung der Richtung beliebig verschoben werden.

In der weiteren Diskussion werden (sofern nicht anders bemerkt) freie Vektoren benutzt.
Für Vektoren kann man (zunächst in qualitativer Form) Rechenoperationen definieren, deren Anwendungsbereich nicht auf die theoretische Physik beschränkt ist.
Die Addition von Vektoren entspricht dem Hintereinanderausführen von Verschiebungen. Man verschiebt ein Objekt zunächst um den Vektor und dann um den Vektor . Den Vektor, der den Anfangs- und den Endpunkt dieser Vektorkette verknüpft, definiert man als den Summenvektor und schreibt

Der Summenvektor markiert die kürzeste Verbindung zwischen diesen beiden Punkten (Abb. 3.2a). Man kann den Summenvektor auch konstruieren, indem man die Anfangspunkte der beiden Vektoren zusammenlegt und die Figur zu einem Parallelogramm ergänzt (Abb. 3.2a). Die (lange) Diagonale des Parallelogramms ist der Summenvektor. Bei dieser Konstruktion hat man die Aussage benutzt, dass die Vektoraddition kommutativ ist

Die Addition von mehr als zwei Vektoren (Abb. 3.2b) ergibt sich sinngemäß durch die Angabe

Benutzt wurde die Aussage: Die Vektoraddition ist assoziativ.

Abbildung 3.2: Zur Vektoraddition

Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar entspricht der Vorschrift: Verschiebe ein Objekt nicht um einen Vektor , sondern um mal diesen Vektor. Den resultierenden Vektor mit der Länge und, falls die Zahl positiv ist, der gleichen Richtung wie schreibt man als

Ist so bezeichnet man als den Nullvektor . Dies ist, anschaulich gesprochen, ein Vektor, dessen Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Man kann die Frage stellen: Weder Länge noch Richtung, also ein Vektor? Dieser Vektor ist aber, wie die Zahl bei den Rechenoperationen mit Skalaren, eine unabdingbare Größe mit der Eigenschaft . Ist , so hat die Länge , zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung zu . Rechenregeln für die Multiplikation mit einem Skalar sind die Distributivgesetze

sowie das Assoziativgesetz

Die Subtraktion von Vektoren kann man mit Hilfe der Addition und der Multiplikation mit darstellen. Die Differenz zweier Vektoren ist

Man dreht den Vektor um und addiert in gewohnter Weise. Den Differenzvektor erhält man auch als die kurze Diagonale in dem Vektorparallelogramm, wobei (eine nützliche Merkregel) der Endpunkt des Differenzvektors mit dem Endpunkt von zusammenfällt (Abb. 3.3).

Abbildung 3.3: Subtraktion von Vektoren

Es gibt zwei verschiedene Produkte eines Vektors mit einem anderen Vektor. Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt, zweier Vektoren entspricht, sozusagen, der Projektion eines Vektors auf den anderen. Die Definition (und Notation) des Skalarproduktes ist

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Die Definition beinhaltet die folgenden Operationen: Projiziere den Vektor auf die Richtung von . Dies ergibt den Faktor . Mulipliziere mit dem Betrag von . Alternativ kann man zuerst auf die Richtung von projizieren und dann mit multiplizieren (Abb. 3.4a). Mit dieser Definition wird also

zugeordnet.
Rechenregeln für das Skalarprodukt sind

• Das Skalarprodukt ist kommutativ
  
  
  
  
  Dies ist die formale Fassung der Aussage, dass es keine Rolle spielt, ob man zuerst auf projiziert oder umgekehrt.
• Es gilt das Distributivgesetz
  
  
  
  
  Diese Rechenregel kann man in der Ebene leicht veranschaulichen. Die Projektion des Summenvektors setzt sich aus den Projektionen der Summanden zusammen (Abb. 3.4b).
• Es gilt ein Assoziativgesetz bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar
  
  
  
  

Der Definition entnimmt man weiterhin die folgenden Eigenschaften des Skalarproduktes

• Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat des Betrages
  
  
  
  

• Das Skalarprodukt hat den Wert Null
  
  
  
  
  falls oder/und ist oder falls senkrecht auf steht. In dem letzteren Fall bezeichnet man die beiden Vektoren als orthogonal.

Abbildung 3.4: Das Skalarprodukt

Die Tatsache, dass das Skalarprodukt ein nützliches Instrument darstellt, soll an einem trigonometrischen Beispiel, dem Kosinussatz, erläutert werden. Der Beweis der Relation , die für beliebige Dreiecke gilt, ist mit elementargeometrischen Mitteln durchaus umständlich. Mit Hilfe der Vektorrechnung argumentiert man wie folgt: Das Dreieck kann durch ein geschlossenes Vektorpolygon beschrieben werden (Abb. 3.5)

Daraus folgt z.B. durch Auflösung nach und Bildung des Skalarproduktes

Entsprechend kann man alle Varianten des Kosinussatzes (und mit ähnlichen Mitteln weitere Sätze der Trigonometrie) gewinnen.

Abbildung 3.5: Zum Kosinussatz

Das Vektorprodukt, auch äußeres Produkt genannt, ordnet zwei Vektoren einen dritten Vektor zu. Die folgende Aussage ist der Hintergrund für die Definition des Vektorproduktes. Zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum spannen ein Parallelogramm auf (Abb. 3.6a). Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist

Die Definition des Vektorproduktes mit der Notation

umfasst drei Punkte (Abb. 3.6b):

• Die Größe ist ein Vektor .
• Die Richtung des Vektors wird festgelegt durch: Der Vektor steht senkrecht auf dem Parallelogramm und zwar so, dass die Vektoren (genau in dieser Reihenfolge) ein Rechtssystem bilden. Die Reihenfolge schlägt sich in zwei alternativen Merkregeln nieder:
  Rechte Handregel : Der Daumen (der rechten Hand) zeigt in Richtung von , der Zeigefinger in Richtung von und der Mittelfinger in Richtung von .
  Schraubenregel : Man drehe auf dem kürzesten Weg in Richtung von . Die Richtung von entspricht dem Gang einer normalen (Rechts)-Schraube.
  Für handwerklich weniger Begabte gibt es noch die Regel: Man stelle sich die drei Vektoren als Andeutung einer menschlichen Figur vor. Es entspricht dann: dem rechten Bein, dem linken Bein, der Richtung zu dem Kopf.
• Der Vektor hat die Länge
  
  
  
  
  Der Betrag des Vektorproduktes entspricht dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
  Die Charakterisierung einer Fläche durch eine Länge bedarf vielleicht noch einer Bemerkung. In der Geometrie spricht man (oft) etwas präziser von einer Länge, die ein Maß für eine Fläche darstellt. Eine Längenangabe cm ist das Maß einer Fläche mit . In der Physik gibt es bezüglich der Maßeinheiten keine Schwierigkeiten. So lautet z.B. die Definition des Drehimpulses (Buch.Kap. 3.2.2) mit der korrekten Maßeinheit
  
  
  
  
  Noch zu bemerken ist: Das Vektorprodukt ergibt einen Nullvektor, falls einer der Faktoren ein Nullvektor ist oder wenn die Vektoren und gleich- oder entgegengerichtet sind.
  
  
  
  

Abbildung 3.6: Zur Definition des Vektorproduktes

Auch für das Vektorprodukt sind einige Rechenregeln zu notieren:

• Das Vektorprodukt ist antikommutativ
  
  
  
  
  Dies ist eine Betonung der Richtungsregeln, wie in Abb. 3.7 gezeigt.
• Der Definition entnimmt man direkt das Assoziativgesetz
  
  
  
  

• Es gibt ein Distributivgesetz
  
  
  
  
  Der elementargeometrische Beweis dieser Regeln ist nicht schwierig, wenn auch ein wenig umständlich.

Abbildung 3.7: Vektorprodukt: Antikommutativität

Die qualitative Form der Vektorrechnung ist für die Gewinnung von quantitativen Resultaten nicht geeignet. So führt der Versuch, einen Summenvektor mit Hilfe eines Lineals und eines Winkelmessers zu bestimmen, zu nicht vertretbaren Fehlern. Aus diesem Grund ist die Erarbeitung einer quantitativen Fassung des Vektorkalküls unerlässlich.