1 Grenzwerte

Eine der Grenzwertdefinitionen für Funktionen einer Veränderlichen lautete: Eine Funktion hat an der Stelle den Grenzwert , falls für jede Zahlenfolge mit stets ist.
Diese Definition ist (wie schon bemerkt) nicht sonderlich praktisch, da die Forderung `für jede Zahlenfolge` lautet. Sie hat aber den Vorteil, dass man sie direkt auf den Fall von mehreren Variablen übertragen kann. Man muss nur die Aussage `Zahlenfolge` durch den Ausdruck `Punktfolge` ersetzen.
Für eine Funktion von zwei Veränderlichen ist der Definitionsbereich ein Gebiet der - Ebene. Im Unterschied zu einem Punkt auf einem Zahlenstrahl kann man einen Punkt in einer Ebene (oder im Raum) nicht nur aus zwei sondern aus beliebig vielen Richtungen annähern. Für eine Funktion von Variablen kann man also Punktfolgen der Form

angeben, die sich aus beliebiger Richtung dem Grenzpunkt nähern. Die Übertragung des Grenzwertkriteriums lautet somit:

Zur Erläuterung des Kriterium folgen zwei Beispiele. Für die Funktion

ist der Definitionsbereich die - Ebene ohne den Punkt . Zur Diskussion des Grenzwertes der Funktion an der Stelle betrachtet man die Punktfolgen:
Für jede Punktfolge entlang der -Achse gilt

Für jede Punktfolge entlang der -Achse gilt

Verschiedene Folgen ergeben einen verschiedenen Wert. Der Grenzwert an der Stelle existiert nicht. Der Definitionsbereich der Funktion

ist ebenfalls die - Ebene ohne den Punkt . Für die Betrachtung des Grenzwertes an dieser Stelle benutzt man am einfachsten Polarkoordinaten

Jede Punktfolge mit dem Grenzpunkt ist durch charakterisiert. Es ist

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert und ist Null. Es besteht die Möglichkeit die vollständige Liste von Grenzwertkriterien im Fall einer Variablen (z.B. das Cauchy-Kriterium, etc.) zu übertragen. Es soll hier jeoch nur eine Bemerkung zu dem Begriff Stetigkeit angefügt werden. Die Übertragung dieses Begriffes lautet folgendermaßen:

In diesem Sinn ist es z.B. nicht möglich, die Funktion

an der Stelle stetig zu ergänzen, für die Funktion

ist dies hingegen möglich.
Das Thema, das im Rahmen der Grenzwertbetrachtungen für Funktionen von mehreren Veränderlichen hauptsächlich interessiert, ist die Differentiation.