4 Das totale Differential

Für eine Funktion von zwei Veränderlichen kann man den Zuwachs der Funktion für zwei infinitesimal benachbarte Punkte der - Ebene durch

darstellen und in gewohnter Weise umschreiben

Mit dem Mittelwertsatz folgt daraus in linearer Näherung

Diese lineare Näherung des Zuwachses bezeichnet man als das erste totale Differential der Funktion (Abb. 4.13).

Abbildung 4.13: Zur Definition des totalen Differentials

Eine geometrische Deutung dieses Ausdruckes gewinnt man, indem man die Differentiale durch Differenzen (endliche Größen) ersetzt. Die resultierende Gleichung

beschreibt eine Ebene durch den Punkt . Diese Ebene ist die Tangentialebene an die Fläche in dem Punkt . Das totale Differential (eine Funktion der vier Variablen , , ,) stellt somit eine infinitesimale Tangentialebene an die Fläche dar.
Zusätzlich ist zu dem Begriff des totalen Differentials folgendes zu bemerken.

• Die rechte Seite der obigen Definitionsgleichung kann man in der Form schreiben
  
  
  
  
  Den linear genäherten Zuwachs der Funktion für eine infinitesimale Verschiebung in beliebiger Richtung erhält man als das Skalarprodukt von mit . Ein derartiger Ausdruck
  Vektorfunktion mal (infinitesimaler) Verschiebung
  spielt (mit der entsprechenden Vektorfunktion) in der Physik bei der Diskussion des Arbeitsbegriffes eine Hauptrolle (siehe Buch.Kap. 3.2.3).
• Die Fehlerrechnung (z.B. im physikalischen Praktikum) basiert auf dem Begriff des totalen Differentials. Für die mit einer Funktion angesprochenen Situation würde die Aussage gelten:
  Zwei Messgrößen , bestimmen über den Zusammenhang die Größe . Interpretiert man die Differentiale , als Messfehler, so ergibt sich aus dem totalen Differential die Aussage
  
  
  
  
  Benutzt man die Dreiecksungleichung , so folgt die Abschätzung
  
  
  
  
  Diese Fehlerabschätzung ist nur sinnvoll, wenn die Messfehler und nicht zu groß sind. Man muss immer im Auge behalten, dass die Basis für diese Abschätzung die lineare Näherung des Zuwachses ist.
• Die Bezeichnung `erstes` totales Differential deutet an, dass man totale Differentiale höherer Ordnung betrachten kann. Für den Fall von Funktionen mit zwei Variablen lautet das zweite totale Differential (man beachte, dass und unabhängige Größen sind)
  
  
  
  
  Setzt man die Vertauschbarkeit der gemischt partiellen Ableitungen voraus, so ergibt sich in zweiter Ordnung in den Differentialen
  
  
  
  
  Mit dem zweiten totalen Differential nähert man die Fläche durch eine (infinitesimale) Tangentialfläche zweiter Ordnung.
  Die Definition der totalen Differentiale kann man auch auf den Fall von Funktionen mit Variablen übertragen. Das erste totale Differential einer Funktion
  
  
  
  
  stellt den Zuwachs der Funktion in linearer Näherung dar. Die geometrische Interpretation ist nicht sehr anschaulich. In Übertragung der Situation für würde man sagen: Diese Gleichung beschreibt die (infinitesimale) tangentiale Hyperebene an die Hyperfläche im -dimensionalen Raum.