3 Elementare Funktionen

Eine Funktion von einer komplexen Veränderlichen

**Abbildung 7.8:** Definitions- und Wertebereich einer Funktion mit einer komplexen Veränderlichen

bildet einen gegebenen Bereich von Punkten der komplexen Zahlenebene (Definitionsbereich) auf einen anderen Bereich von Punkten in der komplexen Zahlenebene (Bildbereich) ab. Zur Veranschaulichung benutzt man zweckmäßigerweise neben der ursprünglichen

-Ebene und eine explizite Bildebene (

).
Einfache Beispiele sind:

Die lineare Funktion mit komplexen Konstanten .
Ist z.B. (Abb. 7.9), so wird jeder Punkt der z-Ebene parallel verschoben.

Abbildung 7.9:

Abbildung 7.10:

Für (Abb. 7.10) liegt eine Drehstreckung vor.
Die Funktion stellt die Spiegelung am Einheitskreis plus komplexe Konjugation dar. Diese Abbildung besitzt die Fixpunkte auf der reellen Achse (Abb. 7.11).

Abbildung 7.11:
Die quadratische Funktion bildet Punkte der z-Ebene auf eine doppelt belegte Bildebene ab (Abb. 7.12).

Abbildung 7.12:

So werden z.B. Punkte der oberen Halbebene (wegen ) auf die gesamte w-Ebene abgebildet. Eine entsprechende Aussage gilt für die Punkte der unteren Halbebene. Um eine eindeutig umkehrbare Abbildung zu erhalten, benutzt man die Darstellung der Bildfunktion auf Riemannschen Flächen.

obere Halbebene (ohne positive reelle Achse)

volle -Ebene

untere Halbebene (ohne negative reelle Achse)

ein zweites

Blatt der -Ebene.

Da man nach dem vollen Umlauf in der z-Ebene wieder auf dem ersten Blatt der -Ebene landen sollte, denkt man sich die beiden Blätter der -Ebene entlang der positiven reellen Achse aufgeschnitten und über Kreuz zusammengefügt. Schaut man in die Richtung der Achse, so ergibt sich das in Abb. 7.13 dargestellte Bild.

Abbildung 7.13: Riemannsche Flächen

Man bezeichnet diese doppelt belegte und entlang der reellen Achse zusammengefügte -Ebene als die Riemannsche Fläche der Funktion . Auf der Fläche ist jeder Punkt zweimal (auf dem oberen und dem unteren Blatt) belegt, der Nullpunkt () jedoch nur einmal. Dieser Punkt heißt Verzweigungspunkt der Fläche. Mit der Riemannschen Konstruktion für die Funktion wird die einfach überstrichene z-Ebene umkehrbar eindeutig auf zwei Blätter der w-Ebene abgebildet.

Trotz der etwas komplizierten Form der Darstellung kann man (mit Nutzen) die gesamte Analysis im Reellen auf den komplexen Fall übertragen. Themen, die bei dieser Erweiterung anstehen würden (die aber hier nicht abgehandelt werden), sind z.B.

Zahlenfolgen mit komplexen Gliedern und deren Konvergenz,
unendliche Reihen einschließlich Potenzreihen,
Grenzwerte von Funktionen,
Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Funktionen.

(Vergleiche Math.Kap. 1 für entsprechende Punkte bei Funktionen von einer reelen Veränderlichen). So lautet z.B. die Definition der Ableitung einer komplexen Funktion

an der Stelle

(5)

Zu beachten ist dabei insbesondere, dass der Grenzpunkt von allen Seiten angenähert werden kann. Dies führt zu einer Struktur, die sich von der Analysis von Funktionen einer reellen Veränderlichen in einigen (wesentlichen) Punkten unterscheidet.
Es ist üblich, höhere komplexe Funktionen durch ihre Potenzreihen zu definieren. So nennt man die Reihe

die komplexe Exponentialfunktion, da sie für reelles z die übliche Exponentialfunktion darstellt.
Eine kleine Auswahl der Eigenschaften dieser Funktion ist:

Die Potenzreihe konvergiert für jedes absolut. Daraus gewinnt man (durch Multiplikation der Potenzreihen und Sortieren) die Aussage
Aus dieser Formel folgt

Betrachtet man nun die Potenzreihe für und sortiert nach Real- und Imaginärteil, so findet man

Es gilt also
Die Potenzreihe für ergibt

Aus den Aussagen für folgt dann durch Auflösung nach bzw.

Dies sind die Relationen, die oft bei der komplexen Darstellung von Schwingungs- oder Wellenphänomenen benutzt werden.
Insbesondere folgt aus der Darstellung auch

Aus der Formel in Punkt 1 folgt dann

Die Exponentialfunktion ist im Komplexen eine periodische Funktion mit der Periode .

Abbildung 7.14: Definitions- und Wertebereich der Funktion

Dies bedeutet, dass durch diese Funktion ein Fundamentalstreifen der - Ebene (man wählt traditionsgemäß auf die gesamte w-Ebene abgebildet wird (Abb. 7.14).