Detail 1.2

Berechnung des Fernfeldes eines elektrischen Dipols für beliebige Raumpunkte

Aus der allgemeinen Formel für das elektrische Feld eines Dipols, die in Kap. 1.3, angegeben wurde, kann man eine oft benutzte Formel für den Betrag des Fernfeldes gewinnen.

Ein elektrischer Dipol ist durch die Angaben:

Die Ladung befindet sich an der Stelle , die Ladung

an der Stelle , siehe Abb. 1.1


charakterisiert. Es soll gezeigt werden, dass der Betrag des Dipolfeldes in einem genügend großen Abstand von der Dipolmitte durch


gegeben ist, wobei der Polarwinkel zwischen der -Achse und der Richtung des Feldpunktes ist.

Abbildung 1.1: Dipol: Geometrie

Man könnte von der Gleichung (Kap. 1.3)

(1)

mit




ausgehen und


für Punkte mit berechnen. Wegen der Rotationssymmetrie genügt es jedoch, das Feld in der - Ebene ( )


zu berechnen. Zur Betrachtung von Punkten mit entwickelt man die Abstandsfunktionen und nach Potenzen von . Zur Aufbereitung sind die Schritte




und entsprechend




notwendig. Mit der binomischen Formel für mit


gewinnt man somit die Näherungen




Damit erhält man für die -Komponente des -Feldes in der entsprechenden Näherung




bzw. für die -Komponente




Das Betragsquadrat des Feldes in dieser Näherung ist




Mit




folgt




Das Resultat




zeigt die Winkelabhängigkeit des Dipolfernfeldes und die Tatsache, dass dieses Feld schneller abklingt als das Feld einer Punktladung (). Dieses Resultat ist auch für Punkte mit gültig (warum?).



   Weiter









































Die Gleichung (1) zeigt, dass mit gleich mit ist. Außerdem ist . Dahinter steht natürlich die Rotationssymmetrie bezüglich der -Achse.




Die Abbildung 1.2 zeigt die Funktion (für festen Wert von ) in der Standarddarstellung

Abbildung 1.2: Standarddarstellung



und in der Form eines Polardiagramms (Abb. 1.3). In dem Letzteren ist als Länge eines Strahls in Richtung von abgetragen und zwar für (blau) und (rot).

Abbildung 1.3: Polardiagramm


An beiden Darstellungen erkennt man, das der Betrag des Fernfeldes für einen gegebenen Abstand minimal in der -Richtung (der - Ebene, ) und maximal in der -Richtung ( ) ist.


Zurück zum Inhaltsverzeichnis

<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005