Detail 2.1
Berechnung des elektrischen Potentials einer
Kugel und eines Kreisrings (homogen geladen)
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel kann man auch gewinnen,
indem man zunächst deren Potential berechnet und dessen Gradienten
bestimmt. Bei der Berechnung des Potentials kann man eine Aufteilung der
Kugel in infinitesimale Volumenelemente mittels Kugelkoordinaten
vornehmen und die Symmetrie des Problems ausnutzen. Zusätzlich folgt
eine kurze technische Bemerkung zu der Berechnung des Potentials eines Kreisringes.
(a) Das Potential der Kugel
Das Potential einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius 
ist durch
das Integral
bestimmt. Die konstante Raumladungsdichte innerhalb der Kugel ist
Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt der Kugel, so genügt es
infolge der Symmetrie z.B. einen Feldpunkt auf der 
-Achse zu betrachten.
In Kugelkoordinaten erhält man mit
für den Abstand der beiden Ortsvektoren
Mit dem Volumenelement
ergibt sich das Dreifachintegral
Die 
-Integration kann sofort ausgeführt werden. Das
Integral über den Polarwinkel kann mit der Substitution
und
berechnet werden. Das Ergebnis nach diesem Schritt ist
Hier muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden, um die Auflösung der Wurzeln
korrekt zu behandeln
Für den Fall 
gilt stets 
. Somit ist die 
Integration
direkt ausführbar
Für 
muss der Integrationsbereich in die Bereiche
und 
aufgespalten werden
Das elektrische Feld selbst erhält man mit
.
(b) Zu dem Potential des Kreisringes
Bei der Diskussion dieses Problems fällt das Integral
 |
(1) |
an. Das Integral ähnelt einem vollständigen elliptischen Integral, doch
tritt die obere Grenze 
anstelle von 
auf. Das folgende
Argument zeigt jedoch, dass man das Integral auf die gewünschten
Grenzen für ein vollständiges elliptisches Integral zurückführen
kann. Der Integrand 
in der Gleichung (1) ist
eine Funktion von
Es gilt somit
Aufspaltung des Integrals ergibt
Mit der Substitution
in dem zweiten Term findet man
und somit
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
