Detail 3.1

Das Potential einer homogen geladenen Kugel in einer homogen geladenen Kugel

Das Potential von Ladungsverteilungen, deren Bestandteile Kugelsymmetrie aufweisen, kann man mittels Superposition berechnen. Für das in Kap. 3.1 angedeutete Potentialproblem einer homogen geladenen Kugel mit der Ladungsdichte innerhalb einer größeren, homogen geladenen Kugel (Ladungsdichte ) sollen hier weitere Illustrationen des Potentialverlaufes vorgestellt werden.

Das Potential der größeren Kugel mit Radius und Koordinatenursprung im Kugelmittelpunkt ist (wie in Kap. 3.1 angegeben)



Für das Potential, das durch die kleinere Kugel (Abb. 3.1) an der Stelle mit dem Radius und der Differenz der Ladungsverteilungen erzeugt wird, erhält man



Abbildung 3.1: Geometrie der geladenen Kugeln


Das Potential der gesamten Ladungsverteilung in den einzelnen Gebieten kann somit wie folgt angegeben werden:
Innerhalb der kleinen Kugel:
innerhalb der großen, aber außerhalb der kleinen Kugel:
außerhalb der großen Kugel:


Legt man die zweite Kugel so, dass ihr Mittelpunkt auf der -Achse liegt, so gilt . Für Punkte entlang einer Geraden durch die beiden Kugelmittelpunkte ist dann mit . Für die Potentiale bis entlang dieser Geraden findet man




Die spezielle Wahl des Koordinatensystems ist nicht notwendig. Betrachtet man eine Situation, in der der Kugelmittelpunkt der kleinen Kugel die Koordinaten


hat, so werden Punkte einer Geraden durch die Mittelpunkte durch


dargestellt. Es ist dann , wobei die laufende Koordinate nun anstelle von ist. Die Variation des Potentials mit der Ladungsdichte und der Position der kleinen Kugel wird in den folgenden Animationen 3.2-3.4 dargestellt.
Gezeigt wird das Gesamtpotential (in CGS Einheiten) entlang der Geraden durch die Kugelmittelpunkte. hat den in den folgenden Animationenangedeuteten Verlauf . Die Codierung der Potentialkurven ist:


rot: Kurvenverlauf außerhalb der großen Kugel
schwarz: Kurvenverlauf durch die kleine Kugel
blau und grün: Kurvenverlauf durch die große Kugel, außerhalb der kleinen.

In der Animation in Abb. 3.2 wird die Position der kleinen Kugel variiert, in Abb. 3.3 und 3.4 die Dichte der kleinen Kugel für unterschiedliche Kugelgrößen.

Abbildung 3.2: Vorgegebene Dichte, variabler Ort , , , ,
Abbildung 3.3: Variation der Dichte bei festem Ort (große Kugeln) , , , ,
Abbildung 3.4: Variation der Dichte bei festem Ort (kleine Kugeln) , , , ,


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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005