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Sobald das elektrische Potential von Ladungsverteilungen mit einer komplizierteren Geometrie zu berechnen ist, ist ein direkter analytischer Zugang nicht mehr möglich. Optionen sind dann die Multipolentwicklung, die oft nur für den Bereich außerhalb der Verteilung benötigt wird, oder eine numerische Lösung der Poisson/Laplacegleichung (bei optimaler Ausnutzung der verbleibenden Symmetrie).
Die Multipolentwicklung einer azimutalsymmetrischen Ladungsverteilung im Außenbereich
hat die Form (Kap. 3.2, (3.18))
)
wird durch die Halbachsen des prolat gewählten Ellipsoides
bestimmt
eine beliebige positive oder negative Zahl sein kann
(vergleiche Band1, Math.Kap. 1.31).
definiert
-Funktion
dargestellt werden können.
Diese Definition kann infolge der Eigenschaften der -Funktion
(Math.Kap. 4.1) auf beliebige Werte
erweitert werden
-Funktionen (Math.Kap. 4.1)
folgt.
-Funktion entnimmt man
Bei der Berechnung des Integrals (2) muss man die Fälle gerade
und ungerade Werte des Parameters 
getrennt diskutieren.
Ist ungerade (
), so kann man anmerken, dass der
Integrand in dem Integral (2)
) besteht. Das Integral über das
Intervall 
mit diesem Integranden verschwindet
Ist gerade (
), so ergibt die Entwicklung der Wurzel in dem
Integranden von
ist. Man benutzt dazu die
Aussage, dass jede Potenz (jedes Polynom) durch eine Summe von
Legendrepolynomen ausgedrückt werden kann
bestimmt werden könnten (siehe Anh. C.1.1), doch hier nicht interessieren.
Setzt man diese Relation in (9) ein, so ergibt sich wegen der
Orthogonalität der Legendrepolynome eine Reduktion der Summe
gerade und 
, so ist, wegen der Forderung 
, das Integral
gleich Null. Es genügt somit für die vorliegende Rechnung nur Werte von 
mit zu betrachten.
Da 
und 
jeweils gerade Funktionen sind, kann das
Integrationsintervall auf 
einschränken
Einsetzen in (9) ergibt mit (5)
ermöglicht eine Resummation (mit
(5) und (4))
(
)
Die Konvergenz der resultierenden Entwicklung des Potentials (1) im
Außenbereich der Ladungsverteilung (ersetze 
durch die
Ellipsenparameter (3)) und benutze die Ladung
und 
entsprechen
einer Kugel 
und einer auf die 
-Achse beschränkten (
)
linearen Ladungsverteilung der Länge 
.
)
und in x-y Ebene (blau, 
