Detail 4.1
Von einer Punktladung induzierte Oberflächenladung einer geerdeten Metallkugel
Die Lösung der Aufgabe: 'Berechne das Potential einer Punktladung 
im
Abstand 
vom Zentrum einer geerdeten Metallkugel mit Radius 
' lautet
Wählt man als Position der Ladung
(Abb. 4.1) ,
Abbildung 4.1:
Metallkugel und Punktladung: Wahl des Koordinatensystems
 |
so sind die
Spiegelladung und deren Position (Abb. 4.2)
Abbildung 4.2:
Metallkugel und Punktladung: Position der Spiegelladung
 |
Zu berechnen sind hier die auf der Kugel induzierte Ladungsverteilung
mittels der Normalenableitung
 |
(2) |
und die gesamte auf der Kugel induzierte Ladung
 |
(3) |
(a) Ladungsverteilung
Mit der oben angedeuteten Wahl des Koordinatensystems und
gilt für die Abstandsfunktion (setze wie im Haupttext 
)
Das Potential im Außenraum hat dann die Form
Die Berechnung der Normalenableitung beinhaltet die Schritte
Da 
ist, hat die induzierte Oberflächenladung
ein der Ladung entgegengesetztes Vorzeichen.
(b) Integration
Das Oberflächenintegral (3)
ist explizit
Die 
-Integration kann direkt ausgeführt werden
Das verbleibende Integral lässt sich einfach berechnen
()
Die gesamte auf der Metallkugel induzierte Oberflächenladung entspricht der
Spiegelladung.
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
