Detail 4.2

Das Potential von zwei Punktladungen vor einer geerdeten Metallkugel

Auch dieses Problem kann durch Superposition gelöst werden: Man betrachtet zwei Punktladungen an den Stellen und deren Potentiale und zu einem Gesamtpotential addiert werden. Zu beachten ist, dass die Randbedingung auf der Kugeloberfläche von dem Gesamtpotential erfüllt werden soll. Dies bedingt die folgende Betrachtung. Die Aufbereitung der Einzelpotentiale () erfolgt analog zu den Betrachtung in Kapitel 4.2 mit dem Unterschied, dass die Punktladungen nun nicht mehr auf der -Achse liegen. Man könnte das Koordinatensystem so wählen, dass die Vektoren und in der - Ebene liegen (Abb. 4.1), doch ist die allgemeinere Diskussion nicht aufwendiger.

Abbildung 4.1: Anordnung der Ladungen und Spiegelladungen


Mit den Vorgaben




muss man die allgemeine Form (3.34) der Multipolentwicklung ansetzen. Es ist in der Standardnotation


so dass man für den Spiegelladungsansatz


die folgenden Details notieren kann: Die Koeffizienten werden über die Randwertvorgabe


bestimmt. Diese Bedingung lautet




Wegen der linearen Unabhängigkeit der Kugelflächenfuktionen muss der Ausdruck in der geschweiften Klammer gleich Null sein. Da diese Aussage jedoch für jede Ladung und zugehörige Position gelten soll, ist dies nur möglich falls die Ausdrücke in den eckigen Klammern einzeln verschwinden. Daraus folgt


Das Ergebnis für die Spiegelladungsbeiträge


kann mit der Definition der Spiegelladungen


und deren Position (mit !)


resummiert werden


Die Einzelpotentiale, aus denen sich das Gesamtpotential additiv zusammensetzt, sind somit: Das gesamte Potential, das durch Addition von zwei realen und zwei fiktiven Punktladungsbeiträgen erzeugt wird, erfüllt die Randbedingung


Da die Einzelpotentiale die Bedingung erfüllen, hätte man die Koeffizienten auch über diesen Satz von Bedingungen bestimmen können. Der springende Punkt ist jedoch, dass die Bedingungen


ebenfalls auf führen, gegebenenfalls von Null verschiedene Einzelpotentiale liefern, deren Summe jedoch wegen der Eindeutigkeit der Lösung des Dirichletproblems wieder das gleiche Ergebnis wie zuvor liefert.


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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005