Detail 4.4
Auswertung der allgemeinen Potentialformel mit Kugelsymmetrie
Zur Anwendung der allgemeinen Lösungsformel (4.32) aus Kap. 4.3 für ein Dirichletproblem
mit Kugelsymmetrie muss man die Normalenableitung der Greenschen Funktion
auf den Randflächen berechnen. Ist die äußere Kugel unendlich groß,
so gilt
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(1) |
und man kann sich auf die Betrachtung der inneren Kugel mit dem Radius
beschränken. Der einfachste Weg zur Berechnung der Ableitung
(beachte das Vorzeichen der Normalenableitung)
benutzt die nicht resummierte Form, z.B.
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(2) |
Die Ableitung dieser Funktion (Vertauschung von Differentiation und
Summation vorausgesetzt) ist
Ausgehend von der Entwicklung der Abstandsfunktion (Kap. 3.2, (3.20))
findet man durch Differentiation nach 
die Relation
die dem ersten Term in (3) entspricht. Der zweite Term kann
ebenfalls mit der Entwicklung der Abstandsfunktion behandelt werden.
Die Relation
(3) lautet somit (vergleiche D.tail 4.1)
Es wurde das folgende Potentialproblem als Beispiel angeführt: Das Potential
ist auf zwei konzentrischen Kugelflächen (Radius und 
) mit
vorgegeben. In dem Gebiet 
zwischen diesen Flächen
befinden sich keine Punkt- oder Raumladungen
Zur Berechnung des gesuchten Potentials muss man diese Vorgaben in die für
die spezielle Geometrie erarbeitete Lösungsformel (4.33) aus Kap. 4.3 einsetzen
und die anstehenden Integrationen ausführen. Es liegt Azimutalsymmetrie vor,
d.h. es ist
.
Mit der Vorgabe der Ladungsdichte
ist nur der Oberflächenterm
auszuwerten. Man findet
Der letzte Schritt folgt aus der Überlegung:
Berechnet man mit diesem Potential die Oberflächenladungsdichte auf der Kugel mit dem Radius
so findet man
Integration über die Kugelfläche oder einfacher
ergibt die Gesamtladung auf der Kugeloberfläche
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
