Detail 4.5
Die Kapazität eines Kugel- und eines Zylinderkondensators
Die Kapazität einer Anordnung von Metallflächen ist durch das Verhältnis
von Ladung zu Spannung gegeben. Für geometrisch einfache Anordnungen
kann man das Potential in dem Raum zwischen den Flächen und somit die
Spannung recht direkt berechnen.
(a) Der Kugelkondensator, einfache Potentialberechnung
Ein Kugelkondensator (vergleiche Kap. 1.4, S.31) besteht aus einer inneren
Metallkugel mit Radius 
und einer konzentrischen, äußeren
Metallschale mit dem Innenradius 
. Die innere Metallkugel trägt
die Ladung
die
konzentrische, äußere Metallschale wird auf einem konstanten
Potential 
gehalten (Abb. 4.1).
Abbildung 4.1:
Schnitt durch einen Kugelkondensator
 |
Die Berechnung des Potentials in dem Zwischenraum, ein einfaches Dirichletproblem,
kann man durchführen, indem man auf die Ergebnisse für das
elektrische Feld des Kugelkondensators aus Kap. 1.4 zurückgreift
und das Potential per Kurvenintegration bestimmt. Es ist bei Integration
von 
nach in Radialrichtung
Mit der Festlegung des Potentials auf der zweiten Kugelfläche
folgt
für das Potential in dem Zwischenraum.
Ein alternativer Weg zu diesem Resultat durch Adaption der
in Kap. 4.3 gewonnene Lösungsformel für ein kugelsymmetrisches
Dirichletproblem (jedoch mit verschiedenen Randbedingungen) wird in
dem Abschnitt (b) vorgestellt. Eine direkt verwertbare Dirichletformel für
den Kugelkondensator würde auf der Vorgabe von Potentialwerten auf zwei
Kugelflächen mit endlichem Radius beruhen.
(b) Der Kugelkondensator, alternative Potentialberechnung
Ausgangspunkt ist die in Kap. 4.3 erarbeitete Lösungsformel (4.33)
die die Situation beschreibt, dass das Potential auf einer Kugelfläche
mit dem Radius 
und die Ladungsdichte in dem Gebiet mit
vorgegeben sind.
Um diese Formel für die Berechnung des Potentials
des Kugelkondensators mit den Radien 
anzuwenden, muss man
den Radius mit dem äußeren Radius des Kugelkondensators
identifizieren und das elektrische Feld für 
so einrichten,
dass scheinbar die Ladung 
auf einer Kugelschale mit dem Radius
verteilt ist. Man erreicht dies, indem man im Ursprung eine Punktladung
mit
anbringt und für die
Wahl
trifft.
Auf diese Weise wird das Kondensatorfeld simuliert.
Man gibt nun auf der Kugelfläche mit dem Radius den
Potentialwert vor, muss aber beachten, dass
die Richtung des Normalenvektors, der ursprünglich in Richtung des Mittelpunktes
der konzentrischen Kugelflächen zeigte, umzukehren ist, da das Gebiet mit 
nun das Außengebiet des Problems darstellt (Abb. 4.2).
Mit diesen Ersetzungen erhält man anstelle von (1) die Relation
Die Auswertung liefert das gleiche Resultat wie in Teil (a)
Abbildung 4.2:
Die Modifikation des Dirichletproblems aus Kap. 4.3 zur
Diskussion des Kugelkondensators (
)
 |
Eine schnörkellose Lösung dieses Dirichletproblems findet man in Aufg. 4.4
nach der Aufbereitung der allgemeinen Lösungsformel für die Vorgabe
von Potentialwerten auf zwei Kugelflächen mit endlichen Radien.
(c) Der Zylinderkondensator
Die Berechnung der Kapazität jeder Kondensatoranordnung erfordert die
Berechnung der Spannung zwischen den zwei Metallflächen des
Kondensators. Für die einfache Zylindergeometrie ist die
Anwendung des Gaußtheorems plus einfache Kurvenintegration
ausreichend.
Der Zylinderkondensator besteht aus einem Metallzylinder mit dem Radius
, der Länge 
und der Ladung , der von einem konzentrischen
Hohlzylinder aus Metall mit dem Innenradius (Länge ) umgeben
ist (Abb. 4.3).
Abbildung 4.3:
Zylinderkondensator: Ansicht
 |
Als Gaußfläche wird die Oberfläche eines Zylinders in dem Zwischenraum
gewählt. Es gilt
, mit der Flächennormalen 
.
Bei Vernachlässigung der Randeffekte erhält man für das Feld
zwischen den beiden Zylindern gemäß dem Gaußtheorem aufgrund der
Symmetrie
Die entsprechende Spannung zwischen den Zylindern erhält
man durch Integration entlang der Radialrichtung (Abb. 4.4)
Abbildung 4.4:
Zylinderkondensator: Querschnitt
 |
Die Kapazität dieser Anordnung ist somit gemäß der Definition
Bei festen Werten der Parameter und nimmt die
Kapazität des Zylinderkondensators in Abhängigkeit von
in der in Abb. 4.5 angedeuteten Weise ab.
Abbildung 4.5:
Die Kapazität ( 
) des Zylinderkondensators als Funktion des
Außenradius bei festem Innenradius
 |
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
