Detail 4.6
Potential eines geraden Drahtes mit dielektrischem Zylinder
(a) Potential des geraden Drahtes parallel zu der 
-Achse
durch den Punkt 
Man berechnet zuerst das elektrische Feld
eines langen, geraden Drahtes (Abb. 4.1) entlang der
-Achse mit dem Gaußtheorem. Ist die lineare Ladungsdichte
, so erhält man für einen Gaußzylinder mit der
Abbildung 4.1:
Potential eines langen, geraden Drahtes: Gaußfläche
 |
Höhe 
und dem Radius 
um die -Achse infolge der Symmetrie
bzw.
Das zugehörige elektrische Potential ist
Für einen Draht, der im Abstand 
parallel zur
-Achse verläuft (und die 
-Achse schneidet), kann man den
Abstand eines Feldpunktes 
in der 
Ebene von dem Schnittpunkt
mit dem Kosinussatz
darstellen (Abb. 4.2).
Abbildung 4.2:
Potential eines langen, geraden Drahtes: Geometrie des verschobenen Drahtes
 |
Hier ist der Abstand des Feldpunktes von dem
Koordinatenursprung und 
der Azimutalwinkel. Um
in der gewünschten Form einer Fourierreihe (siehe Math.Kap. 1.3.4) anzugeben,
benötigt man die Reihentwicklung
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(1) |
Die ersten Terme dieser Reihe kann man explizit anhand der Taylorformel
gewinnen. Der allgemeine Nachweis der Gültigkeit dieser Entwicklung
ist jedoch aufwendiger. Er kann in zwei Schritten vollzogen werden
- Man verifiziert zunächst die Korrektheit der Entwicklung
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(2) |
indem man die Gleichung mit
durchmultipliziert
und den Term mit dem Produkt von Kosinusfunktionen mit
in zwei Beiträge zerlegt. Auf der rechten Seite (RS) erhält man
nach Sortierung
Der letzte Term in der ersten Klammer entspricht dem Beitrag mit
(nach Umbenennung). Der erste Term der zweiten
Klammer ist die Umschreibung des letzten Terms in der Ausgangsgleichung.
Man erkennt, dass sich die Terme in den Klammern jeweils herausheben,
so dass die linke und die rechte Seite übereinstimmen. Man kann nachweisen,
dass die Reihe (2) für 
gleichmäßig konvergiert,
also gliedweise integriert werden kann.
- Man bringt nun in der Relation (2) die
auf die linke Seite
und dividiert die resultierende Gleichung durch 
. Die so gewonnene
Gleichung
kann direkt integriert werden, so dass man somit, bis auf die Sortierung
der Faktoren, die gewünschte Reihenentwicklung
erhält.
Zur Berechnung der Entwicklung des logarithmischen Potentials muss man die
Abstandsfunktion in der Form
bzw.
aufbereiten und findet mit
und (1) für 
die Entwicklungen
(b) Draht und dielektrischer Zylinder: Auswertung der
Anschlussbedingungen
Die Ansätze für die Potentiale in den drei Raumgebieten sind
Die Anschlussbedingungen auf der Oberfläche des dielektrischen Zylinders
mit Radius sind die Stetigkeit des Potentials
und die Stetigkeit der Normalenableitung der dielektrischen Verschiebung,
in der Umsetzung für das Potential also
Diese Bedingungen führen, infolge der Orthogonalitätsrelationen
für die auftretenden Kosinusfunktionen, zu dem Gleichungssystem
(
)
mit der Lösung
Die Konstanten 
und 
sind nicht festgelegt,
können aber infolge der Eichfreiheit des Potentials gleich Null
gesetzt werden.
Bei dem Anschluss der Lösungen bei 
ist nur die Bedingung
möglich. Die Normalenkomponente der dielektrischen Verschiebung ist
nicht stetig, da auf der Randkurve eine wahre Ladung vorhanden ist.
Die Bedingung liefert direkt die Aussagen
(c) Die Abbildung
Die konforme Abbildung
mit der Umkehrung
wird hier im Detail analysiert. Zu diesem Zweck gibt man Kurven in der
-Ebene vor und betrachtet deren Bilder in der 
-Ebene. Die
Zusammensetzung dieser Einzelabbildungen sollte einen Eindruck von der
gesamten Abbildung vermitteln.
Setzt man
so ist
Anwendung des Additionstheorems ergibt
Zur Umrechnung der trigonometrischen Funktionen mit imaginärem Argument
benutzt man
Man erhält somit in der -Ebene
In den folgenden Abbildungen sind die Kurven in der -Ebene
und die entsprechenden Bildkurven in der -Ebene auf einem
`Blatt` gezeichnet. Je eine der Kurven ist farblich
hervorgehoben (blau: -Ebene, grün: -Ebene).
Insbesondere werden die folgenden Kurven der -Ebene und ihrer Abbilder
betrachtet:
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
parallel
zur imaginären Achse (
) werden auf zwei Teilbereiche
der reellen Achse der 
bis zu unendlich fernen Punkten erstrecken, abgebildet
der 
der 
liegt, entsprechen
`Strahlen`, die auf der reellen 
beginnen
zu einer Ellipse ergänzen. Ist
die Entfernung von der reellen Achse der 
