Detail 5.1
Mathematisches zum Vektorpotential
Mathematische Operationen mit dem Vektorpotential
sind das A und O der Magnetostatik (und der Elektrodynamik). Hier werden
zwei der benötigten Aussagen bereitgestellt.
(a) Ein Operatorkreuzprodukt
Zu zeigen ist die Gültigkeit der Relation
 |
(1) |
Die einfachste Methode ist die explizite Auswertung. Man notiert
zunächst die Rotation des Vektorpotentials
und anschließend die Rotation des resultierenden Vektors
Ist man nur aufgefordert, die Korrektheit von (1) zu
überprüfen, so genügt es die Komponenten der rechten Seite
dieser Vektorgleichung explizit auszuschreiben. Die Anwendung des
Laplaceoperators auf die Vektorfunktion ergibt
der Gradient der Divergenz der Vektorfunktion (mit Übergang zu einer
Kurzschreibweise) ist
Man kann dann überprüfen, dass beide Seiten von (1)
Komponente für Komponente übereinstimmen, so z.B. für die
-Komponente
Ist man hingegen aufgefordert, die Darstellung der
Komponenten von
weiter zu bearbeiten, so könnte man die folgende
Überlegung anstellen: Es liegt nahe, für jede Komponente die
Ergänzung zu der zweifachen Ableitung nach der gleichen Koordinate
zu addieren und zu subtrahieren, so z.B. für die -Komponente
Man erkennt
. Die restlichen drei Terme
enthalten alle eine partielle Ableitung nach 
, die `
ausgeklammert` werden kann
Da eine entsprechende Prozedur für alle Komponenten möglich ist,
erkennt man die Gültigkeit der Behauptung.
Es ist noch zu bemerken, dass z.B.
nicht in einfacher Weise in
Kugel- oder sonstige krummlinige Koordiaten umgeschrieben werden kann. Die
kartesischen Einheitsvektoren in
müssen durch
Einheitsvektoren in den krummlinigen Koordinaten dargestellt werden (Band1, Kap. 2.4), an
denen der Laplaceoperator (in den krummlinigen Koordinaten, Math.Kap. 5.2) angreift.
(b) Überprüfung von
für einen Spezialfall
Die Lösung der Ampèreschen Differentialgleichung mit einfachen
Randbedingungen ist
wobei für den Stromdichtevektor
gelten muss. Bildet man die Divergenz des Vektorpotentials, so kann man
den Differentialoperator unter das Integralzeichen ziehen, da der Operator
auf die ungestrichenen Koordinaten wirkt (vorausgesetzt das Integral ist
nicht divergent). Um den skalaren Charakter der Gleichung zu erhalten,
benötigt man das Skalarprodukt von Stromdichtevektor und dem Nablaoperator
Für die Abstandsfunktion gilt (wie man leicht nachrechnet)
Man kann also den Gradienten nach den ungestrichenen Koordinaten durch
den Gradienten nach den gestrichenen Koordinaten ersetzen
Um den resultierenden Ausdruck umzuformen, benutzt man die Relation
(siehe Anh. B.2)
die aus der Produktregel folgt, und erhält
Der erste Term kann mit dem Divergenztheorem umgeschrieben werden
und ergibt Null, da der Stromdichtevektor
per Voraussetzung
auf der Oberfläche einer unendlich großen Kugeloberfläche in einen
Nullvektor übergeht. Der zweite Term verschwindet ebenfalls, da für eine
stationäre Stromverteilung
ist.
Zurück zum Inhaltsverzeichnis
<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
