Detail 5.5
Zum Magnetfeld einer homogen magnetisierten Kugel
Ein Beispiel für die Berechnung des Magnetfeldes (der magnetischen Induktion) eines
makroskopischen, magnetisierten Objektes ist die Berechnung des
Magnetfeldes einer homogen magnetisierten Kugel. Die Lösung dieses
Problems beginnt mit der Aufstellung der Formel für das
Vektorpotential über
das infolge der einfachen Form der Magnetisierung (und bei geeigneter
Wahl des Koordinatensystems), wie in Kap. 5.4.5 gezeigt, nur zwei
Komponenten hat, die durch die Integrale
gegeben sind. Zur Auswertung dieser Integrale sind die folgenden Schritte
notwendig:
- (a)
- Integriere über die Radialkoordinate.
- (b)
- Entwickle die Abstandsfunktion für
und 
nach
Kugelflächenfunktionen.
- (c)
- Stelle die Winkelanteile
und
durch Kugelflächenfunktionen dar.
- (d)
- Führe die Winkelintegrationen unter Ausnutzung der Orthogonalitätsrelationen
der Kugelflächenfunktionen durch.
(a) Die Integration über die Radialkoordinate kann direkt ausgeführt
werden
(b) Die Entwicklung der Abstandsfunktion nach
Kugelflächenfunktionen lautet (siehe Kap. 3.3 (3.34))
und
(c)
Die Funktionen
und
können durch Kugelflächenfunktionen dargestellt werden. Der Tabelle
in Math.Kap. 4.3.4 (oder einer alternativen Auflistung) entnimmt man
und findet
bzw.
Ebenso erhält man
(d) Setze den Ausdruck für
in das Integral
für 
ein und benutze die Orthogonalitätsrelationen der
Kugelflächenfunktionen bei der Winkelintegration.
Für erhält man dann
Für erhält man
Das Integral
wird analog berechnet.
Das Ergebnis für das gesamte Vektorpotential ist
mit
Die Berechnung der daraus resultierenden magnetischen Induktion wird
in Kap. 5.4.5 durchgeführt.
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
