Detail 6.2

Illustration der Dispersion von Wellenpaketen

Ein Wellenpaket, das oft zur Illustration der Dispersion herangezogen wird, ist das Gaußpaket. Zur Anfangszeit wird es durch die Funktion


beschrieben. Diese Funktion stellt eine Kurve dar, die als Glockenkurve bezeichnet wird (Abb. 6.1).

Abbildung 6.1: Die Glockenkurve für verschiedene Parameter


Sie ist symmetrisch in Bezug auf den Punkt und nimmt dort einen Maximalwert an. Die Glocke ist umso schmaler (breiter) je größer (kleiner) der Parameter ist. Der Vorfaktor ist so gewählt, dass die Fläche unter der Glockenkurve den Wert 1 hat. Um diese Aussage nachzuweisen, benötigt man das Integral


Dieses kann man auswerten, indem man das Integral quadriert, das Produkt in ein Doppelintegral umschreibt


und zu ebenen Polarkoordinaten übergeht


Das Radialintegral kann mit der Substitution elementar gewonnen werden




Im Endeffekt ist also


Eine oft benutzte Erweiterung ist


wobei vorausgesetzt wird, dass der Realteil von größer als Null ist (Re) und beliebige komplexe Zahlen sind. Dieses Resultat gewinnt man durch quadratische Ergänzung des Exponenten




und die Substitution


Es folgt dann


und somit das zitierte Resultat.

Das anfängliche Gaußpaket kann durch ein Fourierintegral dargestellt werden
(1)

Zur Berechnung der Fourierkoeffizienten bildet man


Auf der rechten Seite erhält man nach Vertauschung der Reihenfolge der Integration mit den Eigenschaften der -Funktion (Math.Kap. 1.4)




Auf der linken Seite ergibt die Anwendung der bereitgestellten Formel


Setzt man alle Faktoren zusammen, so findet man für die Fourieramplitude des Gaußpaketes


Die Fourieramplitude ist ebenfalls eine Glockenkurve, deren Breite durch charakterisiert wird. Ist das räumliche Gaußpaket breit, so ist die Fourieramplitude scharf und umgekehrt (siehe Abb. 6.2-6.4).

Abbildung 6.2: Die Fourieramplitude für verschiedene Parameter


Abbildung 6.3: Die Fourieramplitude (blau) im Vergleich mit (pink) für


Abbildung 6.4: Die Fourieramplitude (blau) im Vergleich mit (pink) für


Zur Diskussion der Zeitentwicklung des Gaußpaketes betrachtet man die Entwicklung nach ebenen Wellen


wobei die Frequenz für ein Paket im Vakuum (freies Paket) durch oder für ein einfaches, dispersives Paket in der Form vorgegeben wird. Damit berechnet man die zeitabhängigen Wellenpakete


wobei dem anfänglichen Wellenpaket entspricht (siehe (1)). Im Fall ist das Integral


auszuwerten. Dies entspricht dem oben bereitgestellten Integral mit


so dass man


bzw.


schreiben kann. Man erhält ein Gaußpaket, das sich ohne Dispersion uniform nach `rechts` bewegt.

Abbildung 6.5: Wellenpaket im Vakuum


Im Fall der Vorgabe ist das Integral


zu berechnen. Hier ist


und somit


Anstatt den Realteil dieser Funktion zu bestimmen, ist es einfacher die quadratische Form


die bei der Diskussion der Wellenfunktion der Quantenmechanik eine zentrale Rolle spielt, zu betrachten. Auch diese Funktion vermittelt einen Eindruck von der Zeitentwicklung des Wellenpaketes. Man findet




bzw. für das Betragsquadrat der Wellenfunktion nach Sortieren aller Faktoren


Der Schwerpunkt des Wellenpaketes 2 bewegt sich ebenfalls mit der Geschwindigkeit nach rechts, doch bedingen sowohl der Vorfaktor als auch der zusätzliche Faktor im Exponenten das Auseinanderfließen des Wellenpaketes aufgrund der Dispersion.
Abbildung 6.6: Wellenpaket im Medium
Diese Funktion ist zu vergleichen mit der Zeitentwicklung des freien Wellenpaketes (Abb. 6.7)


Abbildung 6.7: Vergleich: Vakuum (grün), Medium (blau)


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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005