Detail 7.1

Der reale und der ideale Transformator

Das Ersatzschaltbild des Transformators (Abb. 7.1)
Abbildung 7.1: Zu dem Transformatorproblem: Illustration und Ersatzschaltbild

zeigt die beiden Stromkreise mit Widerständen () und Spulen () ( mit Windungen) sowie die Kopplung durch Wechselinduktion (). An dem Primärkreis liegt eine Wechselspannung , die jedoch in der folgenden Rechnung in der komplexen Form


angesetzt wird. Auf der Sekundärseite wird die Spannung abgegriffen. Wird diese an einen `Verbraucher` angeschlossen, so ist dessen Widerstand dem Widerstandswert (Serienschaltung) zuzuschlagen.

Die Kopplung wird durch einen Eisenkern, der zur Vermeidung von Wirbelstromflüssen laminiert ist, bewirkt. Bei der theoretischen Behandlung unterscheidet man die Fälle

(a)
Realer Transformator: Vollständige Lösung der Transformatorgleichungen (7.2) und (7.3).




(b)
Idealer Transformator: Lösung der Transformatorgleichungen mit der Bedingung


also einem vernachlässigbaren Widerstand in dem Primärkreis.

(a) Der reale Transformator

Zur Diskussion des realen Transformators benutzt man die Ansätze




Zu bestimmen sind die reellen Amplituden und Phasen der Ströme in dem Primär- und Sekundärkreis. Für den Ansatz gilt


so dass die Bestimmungsgleichungen die Form




annehmen. Aus der zweiten Gleichung gewinnt man die Relation


zwischen den beiden Strömen. Setzt man diese Relation in die erste Gleichung ein und sortiert, so erhält man
(1)

wobei der Nenner durch
(2)
   

gegeben ist. Der Primärstrom ist mit der angelegten Spannung durch
(3)

verknüpft. Für die weitere Auswertung bieten sich zwei Optionen an:
(i)
Bestimme das Verhältnis der Stromstärken und die Phasendifferenz zwischen den beiden Strömen. Hier bildet man das Verhältnis der beiden Ströme




Die Phasendifferenz entspricht dem Verhältnis von Imaginär- zu Realteil, explizit


Das Verhältnis der Stromstärken wird durch den Absolutbetrag der obigen Relation bestimmt




Ist der Widerstand im Sekundärkreis klein gegen die Selbstinduktion (mal Frequenz)


so ist das Verhältnis der Stromstärken essentiell durch das Verhältnis der Wechselinduktion zu der Selbstinduktion gegeben


Die Amplitude des induzierten Stromes ist umso größer, je stärker die Kopplung der beiden Stromkreise ist. Für die Phasen gilt in diesem Grenzfall


Die Phasendifferenz geht von links kommend gegen Null.


In dem zweiten Fall fließen, wegen


die beiden Ströme in entgegengesetzter Richtung (Abb. 7.2).
Abbildung 7.2: Stromfluss im Transformator

(ii)
Etwas aufwendiger ist die Lösung des Transformatorproblems durch vollständige Trennung
der Imaginär- und Realteile in (1) und (3). Zu dem Zeitpunkt ist




Schreibt man für den Nenner mit der Abkürzung (siehe (2))




so findet man zunächst




Daraus gewinnt man z.B. für die einzelnen Phasen die Relationen




woraus sich als Probe




ergibt. Die Stromstärken gewinnt man durch Betrachtung des Absolutwertes der beiden Aussagen.





(b) Der ideale Transformator

Der ideale Transformator ist durch einen kleinen Widerstand im Primärkreis charakterisiert


In diesem Grenzfall gehen die Transformatorgleichungen in die reduzierten Gleichungen




über. Man betrachtet zwei Zeitpunkte und , für die jeweils der Primär- oder der Sekundärstrom den Wert Null hat




Zu dem ersten (zweiten) Zeitpunkt gilt


In beiden Relationen ist die rechte Seite unabhängig von der Zeit, also kann auch die linke Seite nicht von der Zeit abhängen. Daraus folgt mit


die Relation


sowie


Mit der Solenoidformel für die Selbstinduktionskoeffizienten


findet man


Vernachlässigt man in dem Nenner die Terme in und benutzt die angegebene Relation für die Wechselinduktion, so erhält man für die in Teil (a) definierten Größen


Es folgt dann
  1. für die Phase im Sekundärkreis


    (in Übereinstimmung mit dem Resultat in Teil a.ii),

  2. für die Phase im Primärkreis


  3. für den Primärstrom




    mit der Auflösung




    sowie




  4. für den Sekundärstrom




Hieraus gewinnt man die wohlbekannte Beziehung zwischen der angelegten Spannung und der Sekundärspannung (multipliziere mit )




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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005