Detail 7.2
Brechung: Weitere Fresnelformeln und Energiefluss durch eine ebene Trennfläche
(a) Fresnelformeln
Bei der Diskussion der Reflexion und Brechung kann man kinematische
Aspekte, die sich aufgrund geometrischer Betrachtungen ergeben, sowie
dynamische Aspekte, die die Eigenschaften der elektromagnetischen Wellen
ansprechen, unterscheiden. Zu den ersteren gehören das Reflexions- und
das Brechungsgesetz. Zu den dynamischen Aspekten zählt man die
Fresnelschen Formeln, die das Verhältnis der Feldamplituden der gebrochenen und der
reflektierten Wellen im Vergleich zu der Feldamplitude der einfallenden Welle
angeben, und die damit verknüpfte Diskussion
des Energieflusses durch die Grenzschichten mittels der Reflexions-
und Transmissionskoeffizienten.
Bei der Herleitung der
Fresnelschen Formeln für linear polarisierte, elektromagnetische
Strahlung unterscheidet man zwei Fälle
- Die Vektoren der elektrischen Felder stehen senkrecht auf der
Ebene der Wellenzahlvektoren.
- Die Vektoren der elektrischen Felder liegen in der Ebene der
Wellenzahlvektoren.
Die Diskussion für eine einfallende Welle mit beliebiger Polarisation
lässt sich auf diese zwei Fälle zurückführen.
In Kap. 7.2.1 wurde die Feldsituation für den ersten (und einfacheren)
Fall in mehr anschaulichere Weise diskutiert. Hier sollen die beiden
Möglichkeiten etwas formaler behandelt werden. Der erste Schritt ist die
Vorgabe eines vollständigen Koordinatendreibeins mit den
Einheitsvektoren (siehe Abb. 7.1
- Der Vektor
steht senkrecht auf der ebenen Trennfläche.
Er zeigt in das Medium 2.
- Der Vektor
liegt in der Trennfäche und steht
senkrecht auf der Wellenvektorebene.
- Der Vektor
liegt in der Trennfäche und markiert
die Wellenvektorebene.
Abbildung 7.1:
Reflexion und Brechung: Koordinatendreibein
 |
Abbildung 7.2:
Reflexion und Brechung: Zerlegung der Wellenzahlvektoren
 |
In Bezug auf dieses Koordinatensystem lautet, entsprechend Abb. 7.2,
die Komponentenzerlegung der Wellenzahlvektoren 
(einfallende Welle),
(reflektierte Welle) und 
(gebrochene Welle):
Für den Fall, dass die elektrischen Feldvektoren senkrecht auf der
Wellenzahlvektorebene stehen, sollen die Magnetfelder noch einmal ohne
Rückgriff auf eine Abbildung bestimmt werden. Aus den Vorgaben
erhält man mit Hilfe der Relation (siehe (6.43), Kap. 6.3.3)
 |
(1) |
für die drei 
-Vektoren
Die Auswertung der Anschlussbedingungen soll nicht wiederholt werden.
Abbildung 7.3:
Komponentenzerlegung der elektrischen Feldvektoren:
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Abbildung 7.4:
Komponentenzerlegung der elektrischen Feldvektoren:
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Abbildung 7.5:
Komponentenzerlegung der elektrischen Feldvektoren: 
 |
Liegen die 
-Vektoren in der Wellenzahlvektorebene, so lautet
die Zerlegung dieser Vektoren (siehe Abb. 7.3 bis 7.5)
Für die magnetische Induktion ergibt das Vektorprodukt in diesem Fall
(1)
Alle drei -Vektoren zeigen in die (negative)
-Richtung.
Die relevante Anschlussbedingung für die Tangentialkomponenenten
(der
-Richtung) der Magnetfelder
liefert somit die folgende Relation zwischen den Amplituden der elektrischen
Felder
Dieses Ergebnis kann man mit der Aussage
in
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(2) |
umschreiben.
Die Anschlussbedingungen für die Normalkomponenten der elektrischen Felder
ergeben die folgenden Aussagen. Mit der Relation
erhält man
bzw. bei Benutzung des Brechungsgesetzes
noch einmal das Ergebnis (2).
Die Anschlussbedingung für die Tangentialkomponenten (in der
-Richtung) liefert direkt
 |
(3) |
Wiederum sind zwei lineare Gleichungen für die Amplitudenverhältnisse
zu lösen. Die Auflösung des Gleichungssystems
ergibt
Diese Resultate werden meist mit Hilfe des Brechungsgesetzes
umgeschrieben. Benutzt man
so erhält man nach einigen Rechenschritten die Standardresultate
 |
(6) |
sowie
In der Praxis ist der Unterschied in den Permeabilitäten meist
vernachlässigbar (
). Die Fresnelschen Formeln
(6) und (7) vereinfachen sich dann zu
Zur Gewinnung dieser Resultate wurden die Dielektrizitätskonstanten wieder
mit Hilfe des Brechungsgesetzes eliminiert und die Relationen
zwischen den trigonometrischen Funktionen benutzt.
Für senkrechten Einfall der Strahlung auf die ebene Trennfläche
(
) findet man für
und für
ausgehend von
den direkten Lösungen (4) und (5) die
Relationen
Man stellt fest, dass in diesem Grenzfall der Unterschied zwischen den
zwei möglichen Orientierungen der elektrischen Feldern entfällt.
(b) Energiefluss
Die Aussage über den Energiefluss (siehe Kap. 7.2.1)
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(12) |
kann anhand der beiden Sätze von Fresnelformeln für lineare
Polarisation der ebenen elektromagnetischen Wellen direkt verifiziert
werden.
- Steht der elektrische Vektor senkrecht auf der Wellenzahlebene, so
findet man durch Einsetzen von
in der Tat
- Liegt der elektrische Vektor in der Wellenzahlebene, so wird die
Energieerhaltungsaussage (12) von den Lösungen (4)
und (5) ebenfalls erfüllt
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
