Detail 7.5

Der Hertzsche Dipol

Die korrekte Berechnung der Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen ist recht kompliziert. Zum einen wirkt die ausgesandte Strahlung auf die Stromverteilung in der Antenne zurück. Auch wenn man diesen Effekt nicht einbezieht, ist die Berechnung des exakten Strahlungsmusters selbst für idealisierte Antennen nicht einfach. Da man davon ausgehen kann, dass der Empfänger nicht in der Nähe des Senders anzutreffen ist, spielt die Diskussion des Fernfeldes, der abgestrahlten elektromagnetischen Wellen in größerer Entfernung von dem Sender, eine besondere Rolle. Das Fernfeld wird durch den Dipolanteil, den Hertzschen Dipol, dominiert (vorausgesetzt die in der Antenne oszillierende Ladungsverteilung ist insgesamt neutral, so dass keine Monopolstrahlung auftritt). Bei der Diskussion des Hertzschen Dipols in Kap.7.3.2 sind zwei Punkte offen geblieben:

(a)
Die Herleitung der Relation
(1)

(b)
Die zusätzliche Berechnung des Skalarpotentials und somit die Berechnung des elektrischen Feldes anhand der Formel
(2)


(a) Ein Integral über die Stromdichte

Der Nachweis der Formel (1) beginnt mit der Diskussion der Terme


Da die Rechnung für jeden dieser Ausdrücke analog verläuft, ist es ausreichend, einen davon zu betrachten.




Es folgt bei Integration über den gesamten Raum




Das Integral auf der linken Seite kann mit dem Divergenztheorem in ein Oberflächenintegral über eine unendlich große Kugel umgewandelt werden


Da jedoch vorausgesetzt ist, dass die Quelle der Strahlung auf eine Umgebung des Koordinatenursprungs beschränkt ist, hat dieses Integral den Wert Null.

Das Argument für die Terme in und verläuft entsprechend, so dass man zusammenfassend


schreiben kann.


(b) Alternative Berechnung des Dipolfeldes

Für das skalare Potential




gilt (analog zu der Diskussion des Vektorpotentials, (7.57/7.58) in Kap. 7.3.1 ) die Näherung




in der Strahlungszone (SZ). Die Entwicklung der Exponentialfunktion liefert hier




Für eine Dipolantenne setzt man voraus, dass


ist. Die Gesamtladung auf der Antenne ist Null, doch ändert sich die Ladungsverteilung lokal mit der Zeit.

In dem zweiten Term der Entwicklung erkennt man wieder das Dipolmoment der Ladungsverteilung. Man findet somit in niedrigster Ordnung für das Skalarpotential


Für den Gradienten des Gesamtpotentials in dieser Ordnung




erhält man in der Ordnung mit der Definition




Man notiert also für die Langwellennäherung in der Strahlungszone


Für das Vektorpotential (Kap. 7.3.2, (7.60))


findet man wegen die Zeitableitung


so dass man für das elektrische Feld mit (2) in der Dipolnäherung
(3)

schreiben kann. Der Faktor in der Wellenzahl kann mit der Formel


in
(4)

umgeschrieben werden. Das Resultat (3) stimmt also mit (7.62) in Kap. 7.3.2 überein.


(c) Animationen:

In den Abbildungen wird das Abstrahlungsmuster des Hertzschen Dipols illustriert. Gezeigt werden die Feldlinien des elektrischen Feldes.
Abbildung 7.1: Ausschnitt einer räumlichen Momentaufnahme des Fernfeldes aus verschiedenen Perspektiven


Abbildung 7.2: Ebener Schnitt entlang der Dipolachse: Nah- und Zwischenzone


Abbildung 7.3: Ebener Schnitt entlang der Dipolachse: Fernzone




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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005