Detail 7.6
Höhere Multipolmomente/Multipolstrahlung
Auch bei der Diskussion der nächsthöheren Beiträge zu der Abstrahlung
einer (idealen) Antenne sind einige kleinere Zwischenschritte zu
absolvieren.
(a) Eine Zerlegung
Die Zerlegung des Produktes
(Kap. 7.3.3, (7.68))
in einen Anteil der symmetrisch gegenüber der Vertauschung der Vektoren
und 
ist, plus einem antisymmetrischen Anteil kann
man folgendermaßen vornehmen.
Im ersten Schritt schreibt man
und addiert und subtrahiert die symmetrische Ergänzung
In dem zweiten Term auf der rechten Seite erkennt man aber die Standardformel für ein
doppeltes Vektorprodukt
Es gilt also
(b) Der Quadrupolanteil
Setzt man in der Formel
und
ein,
multipliziert den Ausdruck mit dem Vektor und integriert über
den gesamten Raum, so gewinnt man
Das Integral auf der linken Seite kann partiell integriert werden. So
ist z.B (setze
und
da in den Größen 
die auf den Koordinatenursprung
beschränkte Stromdichteverteilung enthalten ist. Setzt man diese
Aussagen (die angegebenen plus sieben weitere) zusammen, so erhält man
bzw. nach Sortieren (und Wiedereinsetzen von 
)
(c) Die Winkelverteilung der Quadrupolstrahlung
Zu berechnen ist die Winkelverteilung
wobei die Komponenten des `Quadrupolvektors`
definiert durch
mit den Elementen 
des Quadrupoltensors zu berechnen sind.
Man setzt hier die vorgegebenen Tensorelemente
ein und erhält
Benutzt man die Darstellung der Komponenten des Wellenzahlvektors durch
Kugelkoordinaten
so findet man für die einzelnen Beiträge zu dem Betragsquadrat des
Vektorproduktes
die Aussagen
Die Summe dieser Beiträge ist
so dass die Winkelverteilung der abgestrahlten Leistung durch
gegeben ist. Die Funktion
hat den Wert Null an den Stellen
Die Extrema dieser Funktion sind durch
gegeben und entsprechen
(den obengenannten Nullstellen)
und
d.h.
Dies charakterisiert (überprüfe!) die Maxima. Die Standarddarstellung dieser
Funktion in dem Bereich 
bis 
ist in der Abb. 7.1 gezeigt.
Abbildung 7.1:
Quadrupolstrahlung: Standardplot des Abstrahlungsmusters
 |
Das Strahlungsmuster ist rotationssymmetrisch in Bezug auf die 
-Achse.
Zur Berechnung der gesamten abgestrahlten Leistung
benötigt man das Integral (substituiere
)
und findet damit
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
