Detail 7.7
Die vollständige Multipolentwicklung
Die vollständige Multipolentwicklung des Senderproblems erlaubt einen
systematischen Zugang zu der Berechnung der elektrodynamischen
Potentiale. Die Bestimmung der zugehörigen Felder ist jedoch, infolge
der Komplexität der letztlich auftretenden Winkelfunktionen, recht
aufwendig. In Kap. 7.3.4 wird nur die Aufbereitung dieses Themenkreises
angeschnitten. Man benötigt dazu die Multipolentwicklung
der Greens Funktion des Senderproblems
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(1) |
Die Diskussion dieser Funktion
unterscheidet sich nur im Detail von der Diskussion des kugelsymmetrischen
Dirichletproblems zur Berechnung elektrischer Potentiale, das in
D.tail 4.3 vorgestellt wurde. Setzt man die Multipolentwicklung
dieser Greenschen Funktion
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(2) |
in die Helmholtzgleichung (siehe (7.56), Kap. 7.3.1) ein, so findet man für die
radiale Greens Funktion 
die Differentialgleichung
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(3) |
Die Greens Funktion (1) erfüllt die Symmetriebedingung
und die Randbedingungen:
- Die Funktion muss endlich am Koordinatenursprung sein
- Die Funktion geht im asymptotischen Bereich in eine auslaufende Welle
über.
Der inhomogene Term in (3) bedingt, wie in
D.tail 4.3 gezeigt wurde, die Sprungbedingung
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(4) |
Die der Gleichung (3) entsprechende homogene Differentialgleichung
für eine Funktion von einer Veränderlichen
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(5) |
ist die Differentialgleichung der sphärischen Besselfunktionen. Einige
Eigenschaften dieser Funktionen, die im Folgenden benötigt werden, sind
in dem nächsten Abschnitt zusammengestellt.
1 Sphärische Besselfunktionen
Als Fundamentallösungen der Differentialgleichung (5) kann
man (siehe Math.Kap. 4.4.3) entweder
- die sphärischen Besselfunktionen
und
- die sphärischen Neumannfunktionen
,
oder alternativ die sphärischen Hankelfunktionen
benennen. Eigenschaften dieser Funktionen, die für die momentane
Diskussion wichtig sind, sind das Verhalten dieser Funktionen für
und
sowie eine Aussage über
die ersten Ableitungen.
Am Koordinatenursprung (genauer für
)
gilt (Zur Erinnerung:
.)
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(6) |
Die Besselfunktionen sind am Ursprung regulär, die Neumannfunktionen
divergieren. Das asymptotische Verhalten dieser Funktionen wird durch
abklingende trigonometrische Funktionen
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(7) |
bestimmt. Für die Hankelfunktionen gilt dann
Bei der Betrachtung der Sprungbedingungen für die Ableitung der Funktion
benötigt man eine Rekursionsformel, die die erste
Ableitung der Lösungen der Besselschen Differentialgleichung enthält.
Für die Ableitung aller vier Funktionen gilt
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(9) |
Für die weitere Auswertung der Sprungbedingung benutzt man eine Relation,
in der die Differenz von Produkten der Bessel- und der Neumannfunktion
mit überkreuzten Indizes auftritt
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(10) |
2 Bestimmung der Greens Funktion
Die Lösung der (2) entsprechenden, homogenen Differentialgleichung,
die in den Bereichen 
und 
gültig ist, kann man z.B. mit Bessel- und
Neumannfunktionen
ansetzten. Die Randbedingung, dass 
am Koordinatenursprung
endlich sein muss, erfordert wegen der Eigenschaft (6)
Die Bedingung für den asymptotischen Bereich
kann nur erfüllt werden, wenn
ist, denn es folgt dann mit (7)
Der verbleibende Ausdruck für die Lösung in den beiden Gebieten
wird durch die Symmetriebedingung
weiter
eingeschränkt. Diese Bedingung erfordert
und somit
bzw. explizit
Die noch zu bestimmende Konstante 
ergibt sich aus der Sprungbedingung (4)
an der Stelle 
. Man benutzt die Rekursionsformel (9) für die
Ableitung und erhält zunächst
Die Terme, in denen der gleiche Index bei beiden Funktionen eines Produktes
auftritt, heben sich nach dem Grenzübergang heraus. Es bleibt
Setzt man hier die Definition der Hankelfunktionen ein, so findet man,
dass sich die Produkte mit zwei Besselfunktionen herausheben. Der dann
verbleibende Ausdruck
kann mit der Produktrelation (10) vereinfacht werden
so dass man
erhält. Die Multipolentwicklung (2) der Greens Funktion
des Senderproblem ist also
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
