Detail 7.9
Die Berechnung der Liénard-Wiechert Felder
Die Lösung der inhomogenen Wellengleichung für eine bewegte
Punktladung findet mannigfache Anwendung, z.B. bei der Diskussion der
Brems- und der Synchrotonstrahlung sowie bei Streuproblemen. Um die
Diskussion in Kap. 7.4.1 nicht mit zu vielen rechnerischen Details zu
überfrachten, wird die Herleitung der Grundformeln für die Felder,
die den Liénard-Wiechert Potentialen zugeordnet sind, an dieser Stelle
abgehandelt.
Die vorliegende Situation kann man folgendermaßen charakterisieren:
Eine Punktladung bewegt sich auf einer Bahn
Die von der Punktladung erzeugten elektromagnetischen Felder werden an der Stelle
registriert (Abb. 7.1).
Abbildung 7.1:
Vektoren für die Berechnung der elektromagnetischen Felder einer
bewegten Punktladung
 |
Infolge der endlichen Laufzeit der elektromagnetischen Strahlung von dem Punkt
zu dem Punkt wird die zu dem Zeitpunkt 
ausgesandte
Strahlung erst zu einem späteren Zeitpunkt
registriert.
Zur Berechnung der elektromagnetischen Felder
und
hat man die Möglichkeiten
- (a)
- Benutze die Integraldarstellungen (7.85), (7.86) der elektromagnetischen Potentiale
mit dem Differenzvektor (siehe Abb. 7.1)
und bestimme die Felder über die Relationen
- (b)
- Gehe von den Liénard-Wiechert Potentialen (7.89), (7.90)
aus und berechne die Felder über die Relationen (2) wie in (a).
Die Zeiten 
und sind durch die Relation
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(4) |
verknüpft, deren Auflösung
ergibt.
Selbstverständlich müssen die Resultate übereinstimmen, da jedoch die
jeweiligen Rechnungen durchaus Eigenheiten aufweisen, werden hier beide
Optionen vorgestellt. In beiden Fällen ist es zweckmäßig,
die Abkürzungen
zu verwenden, wobei zur Abkürzung der Notation in den Funktionen 
und 
zunächst nur das Zeitargument anstelle von 
benutzt wird.
Zu einem späteren Zeitpunkt werden, der Übersichtlichkeit wegen, alle
Argumente unterdrückt.
1 Das elektrische Feld über Methode (a)
Die Anwendung der Relation (2) zur Berechnung des elektrischen
Feldes verlangt im ersten Schritt die Bildung des Gradienten und der Zeitableitung
der Potentiale. Vorausgesetzt wird dabei die Vertauschung von Differentiation und
Integration. Der Gradientenoperator wirkt auf den Nenner in dem Integranden der
Darstellung des skalaren Potentials und auf die 
-Funktion. Man findet
wobei 
die Ableitung der -Funktion nach dem gesamten Argument
darstellt
und der Gradient der Abstandsfunktion 
wegen
dem Vektor entspricht
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(6) |
Die benötigte Zeitableitung des Vektorpotentials ist
Aus den zwei Ableitungen kann man den Ausdruck für das elektrische Feld
zusammensetzen.
Um die anstehenden Integrale auszuwerten, ist die Substitution
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(7) |
angebracht. Der Ableitung dieser Funktion von (die Koordinaten
in der Funktion
sind als Parameter zu
werten)
entnimmt man die Ableitung der Umkehrfunktion bzw.
Der resultierende Ausdruck für das elektrische Feld
kann direkt integriert werden
Um die Zeit (im Endeffekt) durch die Zeit t darzustellen,
muss man die Gleichung
nach
auflösen.
Zur Berechnung der Ableitung nach der `Variablen` 
benutzt man die Kettenregel
und erhält
Dieses recht kompakte Ergebnis muss jedoch weiter bearbeitet werden. Da
dadurch die Einzelergebnisse einigermaßen länglich werden, wird
nun auch die Variable unterdrückt.
Man benötigt die Ableitungen
- des Einheitvektors
Die angegebene Zusammenfassung folgt aus der Zerlegung des doppelten
Vektorproduktes
- des Produktes
In dem Ausdruck für 
, in dem die Ableitungen aufgefächert
sind
setzt man zunächst die Ableitung von ein und erhält
Der erste Term und ein Teil des dritte Terms in der Klammer können
zusammengefasst werden
In dem nächsten Schritt wird die Ableitung (9) von 
eingesetzt
und sortiert
Wieder können einige der Terme zusammengefasst werden, so in dem
ersten und dem zweiten Term je zwei Ausdrücke
Man erhält dann
Der Faktor in dem zweiten Term kann noch als ein doppeltes Vektorprodukt
geschrieben werden
In dem Endresultat (11) sind nach der Ersetzung von durch
alle auftretenden Größen (
)
Funktionen von und .
2 Das elektrische Feld über Methode (b)
Ausgangspunkt sind in diesem Fall die Relationen (3), die
in der Form
abgekürzt werden. Zur Berechnung der elektromagnetischen Felder kann man
(2) direkt anwenden. Bei der Berechnung des Gradienten
des Skalarpotentials
ist zu beachten,
dass die retardierte Zeit eine Funktion von und von
ist
Diese Abhängigkeit kommmt bei der Berechnung des elektrischen Feldes
ausgehend von der Kirchhoffschen Darstellung nicht zum Zug, da
eine Variable ist, nach der in diesem Fall differenziert wird, bevor
die Ersetzung
vorgenommen wird. Infolge der
Abhängigkeit der retardierten Zeit von der Position gilt in dem
vorliegenden Fall
Die hier benötigten und direkt berechenbaren Ableitungen sind:
- Der Gradient von
(vergleiche (2))
- Die Zeitableitung (nach ) von
- Um den Gradienten von
zu berechnen, muss man ein wenig weiter ausholen. Das totale
Differential der impliziten Funktion
ist
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(14) |
Da jedoch die partiellen Ableitungen von nach den Koordinaten
anzugeben sind, setzt man 
und erhält z.B. für die
Ableitung nach der 
-Koordinate (
ist die -Komponente von
)
Da entsprechende Resultate für die Ableitungen nach den anderen
Koordinaten gelten, folgt
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(15) |
Die Zusammensetzung dieser Einzelaussagen ergibt den Gradienten
des skalaren Potentials
bzw. nach Erweiterung des ersten Termes mit und Sortierung
Zur Berechnung der Zeitableitung (nach t) des Vektorpotentials mittels
der Kettenregel
benötigt man die partielle Ableitung von nach . Das totale
Differential (14) ergibt in diesem Fall (setze
)
Der zweite Faktor, die partielle Ableitung des Vektorpotentials nach
kann mit Hilfe von (13) und der Relation
bestimmt werden
Der angegebene Vorfaktor setzt sich aus den einzelnen Faktoren gemäß
zusammen. Aus den Zwischenresultaten (16) und (17)
folgt für das elektrische Feld
das in der Form sortiert wird
sortiert werden kann. Das Resultat (18) stimmt mit dem
vorherigen (11) überein.
3 Berechnung des Magnetfeldes
Die Berechnung des Magnetfeldes wird nur über die Betrachtung der
Integraldarstellung ausgeführt. Ausgangspunkt ist die Relation (2)
Der Nablaoperator wirkt nur auf die Funktion 
. Mit den
partiellen Ableitungen (
ist die -Komponente von 
,
vergleiche (6))
erhält man im ersten Schritt
ein Resultat, das wieder mit der Subsitution (7) behandelt wird
Die anstehende Integration wird ausgeführt
und die noch ausstehende Differentiation wird vorbereitet
Man führt zuerst unter Benutzung von (8) die Differentiation
von in dem letzten Term aus, benutzt die Auflösung des
dreifachen Vektorproduktes
sortiert das Zwischenergebnis
durch Erweiterung des ersten Termes
in der Form
Ein Vergeich mit dem Zwischenergebnis (10) für das
elektrische Feld zeigt, dass das elektrische und das magnetische
Liénard-Wiechert Feld durch die Relation
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(20) |
verknüpft sind.
Um die magnetische Induktion explizit anzugeben, wertet man
die verbleibende Ableitung unter Benutzung der schon berechneten Ableitung
(12) von 
aus und erhält
oder, nach weiterer Umschreibung mit
,
4 Eigenschaften der elektromagnetischen Felder
Einige Eigenschaften der berechneten Felder sind hier aufgeführt
- Das elektrische Feld steht nicht senkrecht auf dem Vektor .
Durch explizite Auswertung des Skalarproduktes findet man unter
Benutzung des Resultates (11)
- Die magnetische Induktion steht senkrecht auf dem Vektor .
Dies folgt aus den zyklischen Eigenschaften des Spatproduktes
Abbildung 7.2:
Die Liénard-Wiechert Felder
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
