Detail 8.2

Die einfache Lorentztransformation

Die Herleitung der einfachsten Variante der Lorentztransformation mittels der Michelson-Morley Bedingung beinhaltet nur einfache algebraische Manipulationen. Der Vollständigkeit wegen werden hier auch die Voraussetzungen noch einmal aufgeführt.



Man betrachtet zwei Inertialsysteme die

Abbildung 8.1: Zur Herleitung der einfachen Form der Lorentztransformation

Als Ansatz für die gesuchte Transformationsgleichung benutzt man


Der Ursprung des Systems hat bezüglich des Systems die Koordinate Es ist somit


Setzt man nun die Transformationsgleichungen in die Michelson-Morley Bedingung


ein, so ergibt sich nach einfacher Sortierung




Die Koordinate und die Zeit können beliebig gewählt werden. Koeffizientenvergleich liefert somit einen Satz von Gleichungen für die noch unbestimmten Koeffizienten , , :
(1)
(2)
(3)

Die Lösung dieses nichtlinearen Gleichungssystems kann wie folgt bestimmt werden: Man löst z.B. die Gleichung (2) nach auf


und setzt in (1) ein
(4)

Die Gleichung (3) stellt eine zweite Relation zwischen und dar, die nach Einsetzen in (4) eine quadratische Gleichung für liefert




bzw.




Ein Vorzeichen der Doppelwurzel




wird durch die Forderung ausgewählt, dass im Grenzfall die Galileitransformation erhalten werden soll. Der Koeffizient ist dann positiv, denn es gilt




Den Transformationskoeffizienten gewinnt man aus (3)




Wieder wird durch die Forderung, dass im Grenzfall die Galileitransformation erhalten werden soll, das positive Vorzeichen ausgewählt.

Den Koeffizienten kann man direkt (2) entnehmen






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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details>  R. Dreizler C. Lüdde     2005