und 
betrachtet, die gleich orientiert sind,
zu dem Zeitpunkt 
zusammenfallen
und die sich in einer der Koordinatenrichtungen (z.B. der 
-Richtung)
uniform gegeneinander bewegen. Die Transformationsgleichungen sind dann
Die einfachste Form der Lorentztransformation liegt vor, wenn man zwei
Koordinatensysteme und betrachtet, die gleich orientiert sind,
zu dem Zeitpunkt zusammenfallen
und die sich in einer der Koordinatenrichtungen (z.B. der -Richtung)
uniform gegeneinander bewegen. Die Transformationsgleichungen sind dann
Allgemeinere Varianten der Lorentztransformation müssen betrachtet werden, wenn
zusammenfallen, die Relativgeschwindigkeit
jedoch beliebig ist (Abb. 8.1
mit Sicht aus verschiedenen Perspektiven)
und die Relativgeschwindigkeit beliebig sind.
Für die erste dieser Verallgemeinerungen lauten die
Transformationsgleichungen
- als auch in
der vollen
-Welt soll hier vorgestellt werden.
Als Vorspann zu der eigentlichen Herleitung ist die folgende Überlegung
im Rahmen der ko-/kontravarianten Formulierung nützlich: Die beiden
(gleichorientierten) Koordinatensysteme werden
zunächst so gedreht, dass die -Richtung mit der Richtung des
Vektors
übereinstimmt. Ist die Matrix für
Raumdrehungen im Minkowskiraum 
und der
Ereignisvektor in kovarianter Form
,
so wird die Drehung der Systeme und in der ko-/kontravarianten
Schreibweise durch
dargestellt wird, verknüpft
wieder in die ursprüngliche
Orientierung überführt.
Es gilt
mit den
Elementen
Die hier auftretenden Matrizen sind mit den Matrizen in der einfachen Notation, die z.B. in (2) benutzt wird, in der folgenden Weise verknüpft:
soll eine
Lorentztransformation (Raumdrehung, einfache Lorentztransformation, allgemeine
Lorentztransformation) in der einfachen Schreibweise darstellen, in der nur
kovariante Koordinaten
und
sind die vollständigen Transformationsgleichungen
gleichwertig
und 
Matrizen, die die Lorentztransformation bestimmen, sind in diesem
Fall
-Achse. Zur
Berechnung des Matrixproduktes kann man das Zwischenergebnis
aus und betrachtet die drei Elemente des Produktes.
erhält man
(entsprechend der ersten Zeile der Matrix (7))
auf die
Koordinatenachsen (
) und somit das
Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Positionsvektor 
.
Man kann also zusammenfassen
-Komponente ist mit den Minkowskikoordinaten in dem
System durch
-Komponente
der Relativgeschwindigkeit
. Die
restlichen Terme sortiert man in der Form
das
Skalarprodukt von Position und Relativgeschwindigkeit, sowie die
Projektion eines Einheitsvektors auf die -Achse. Erweiterung mit
liefert das Resultat
-Komponente
durch
)
das Ergebnis
können, wie in
(3) angegeben, in Vektorform zusammengefasst werden
. Die
Relation (9) entspricht der vektoriellen Addition der
Transformationsgleichung für die parallele Komponente, die durch
(2) gegeben ist
-Welt Gültigkeit haben.
Trotzdem soll die Aufbereitung der allgemeineren Transformationsgleichung
auch für diesen Fall angedeutet werden.
Zur Auswertung der Relation (6) im Minkowskiraum
(mit den Koordinaten
) benötigt man die in die vierdimensionale Welt eingebettete
Drehmatrix in Abhängigkeit von den Eulerwinkeln
sind in Band1, Kap. 6.3 (6.135)
aufgeführt, werden hier aber nicht im Detail benötigt. Die für
diese Diskussion relevante Information ist die Orthogonalitätsrelation
, bzw. explizit
Die Matrix der einfachen Lorentztransformation 
ist mit der Matrix
aus Kap. 8.3.4 identisch
ergibt
kann man in der Form
haben die Form
Zur Interpretation betrachtet man auch hier die Transformationsgleichung
. Die Minkowskikoordinaten in dem
System sind
stellt die Projektion des Vektors
auf die Richtung des Vektors der Relativgeschwindigkeit
(der 
-Richtung nach der Drehung der ursprünglichen Koordinatensysteme)
dar. Multipliziert man diesen Ausdruck mit , so erhält
man das Skalarprodukt
. Die
Matrixelemente multipliziert mit dem Betrag der Relativgeschwindigkeit.
kann man als die k-te Komponente dieser Geschwindigkeit
interpretieren. Mit einer analogen Erweiterung und Umschreibung wie in
Teil a. erhält man somit
