Detail 8.5
Der Energie-Impuls Tensor
Schreibt man die Bewegungsgleichungen einer Punktladung in einem
elektromagetischen Feld in kovarianter Form so findet man letztlich
einen Zusammenhang mit dem Energie-Impuls Tensor, der eine viedimensionale
Erweiterung des Maxwellschen Spannungstensors darstellt. Drei einzelne
Punkte sind hier aufzuarbeiten:
- a.
- Die Umschreibung der Bewegungsgleichungen in eine kovariante Form.
- b.
- Der Übergang zu einer Formulierung der Minkowskikraft des
betrachteten Bewegungsproblems durch den Energie-Impuls Tensor.
- c.
- Die Diskussion der Erhaltungssätze der Elektrodynamik aus der
Sicht der kovarianten Formulierung.
(a) Die kovariante Formulierung
Es ist zu zeigen dass die Kraft auf eine Punktladung in einem kombinierten
elektrischen und magnetischen Feld (in der Form Kraft pro
Volumenelement)
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(1) |
in kovarianten Größen der Gleichung
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(2) |
entspricht. Man schreibt zu diesem Zweck die Kraftgleichung (1)
komponentenweise aus
und vergleicht die einzelnen Komponenten mit den korrespondierenden Aussagen
in der kovarianten Notation von (2). Die Viererstromdichte ist
die elektrischen und die magnetischen Feldkomponenten werden in dem
Feldtensor 
zusammengefasst (Kap. 8.5.2)
Man findet dann im Einzelnen die folgenden drei Aussagen, wobei jeder
Satz von Gleichungen von der ersten zur letzten Gleichung oder von der letzten zur
ersten gelesen werden kann
Berechnet man nach dem gleichen Muster die Komponente 
, so ergibt sich
bis auf einen Faktor der Joulesche Wärmeterm
(b) Der Energie-Impuls Tensor
Ersetzt man in der Relation (2)
(mit
) die Komponenten der Viererstromdichte durch
die zugehörigen Terme der inhomogenen Maxwellgleichungen (Kap. 8.5.2, (8.68))
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(4) |
so stellt man mit den folgenden Rechenschritten die Beziehung zu dem
Energie-Impuls Tensor her. Man beginnt mit der Ableitung eines Produktes
von Elementen des Feldtensors
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(5) |
Der zweite Term auf der rechten Seite kann infolge der Antisymmetrie der
Tensorelemente mittels Vertauschung der Indizes umgeformt werden.
Anschließend werden die Variablen, über die im Endeffekt summiert
wird, umbenannt
Der zweite Term wird mit diesem Resultat in zwei Beiträge
aufgefächert
und die Summe in der Klammer wird mit der homogenen Maxwellgleichung
Kap. 8.52, (8.67) durch die zyklische Ergänzung ersetzt
Dieses Resultat kann als die Ableitung eines Produktes aus zwei gleichen
Termen geschrieben werden
Schließlich werden die Indizes in zwei Stufen umbenannt
Ersetzt man nun den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung
(5) durch
bzw.
so erhält man mit der Definition des Energie-Impuls Tensors (8.72)
bei Umbenennung
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(6) |
das Resultat
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(7) |
Die explizite Darstellung der Tensorelemente durch die elektrischen und
die magnetischen Feldkomponenten kann man anhand von (6)
direkt berechnen. Man betrachtet zuerst den Term
und findet durch Quadrieren aller Elemente des Tensors
wobei die Relation
benutzt wurde. Das Element 
ist
Die Elemente 
werden nur durch die einfache Summe bestimmt
Setzt man hier die benötigten Tensorelemente ein, so findet man z.B.
für 
und ein entsprechendes Ergebnis für die anderen Elemente dieser Art.
Die Elemente mit den `räumlichen` Indizes gewinnt man durch
Ein Beispiel für ein diagonales Element ist dann
ein Beispiel für ein außerdiagonales Element
Diese Einzelresultate kann man in der Form
zusammenfassen. Dies ist der in Kap. 6.4.2, (6.61) zitierte Maxwellsche
Spannungstensor (mit
).
(c) Die Erhaltungssätze
Aus den Bewegungsgleichungen
folgen der Energie bzw. der Impulssatz der Elektrodynamik. Die
Komponente für 
ergibt
und entspricht somit (
) dem Energiesatz Kap. 6.4.1, (6.54) im Vakuum
Für die Raumkomponenten notiert man
bzw. explizit
Benutzt man hier (vergleiche Kap. 6 (6.59)) die Definition des Impulses des
elektromagnetischen Feldes mit den Komponenten
so erkennt man hier den Impulssatz der Elektrodynamik (im Vakuum)
der in Kap. 6.4.2, (6.60) in kompakterer Form angegeben wurde.
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
