Detail 8.6
Der relativistische Lagrange/Hamilton Formalismus
Die Bewegung eines geladenen Massenpunktes in einem elektromagnetischen
Feld kann man entweder durch die Lorentzkraftgleichung oder durch
eine entsprechende Lagrangefunktion charakterisieren.
Der Zusammenhang (die Lagrangegleichung entspricht der
Lorentzkraftgleichung) wird hier für den relativistischen und den
nichtrelativistischen Fall hergestellt. Von besonderem Interesse in
verschiedenen Bereichen der theoretischen Physik ist auch die
Hamiltonfunktion einer relativistischen Punktladung in einem
elektromagnetischen Feld. Diese Funktion wird in dem Abschnitt b.
bereitgestellt.
(a) Die Lagrangegleichungen
Die nichtrelativistische Lagrangefunktion eines geladenen Massenpunktes
(
) in einem elektromagnetischen Feld ist Kap. 8.5.4
Die generalisierten (kartesischen) Impulse sind
Als Zutaten für die Aufstellung der Lagrangegleichungen benötigt man
und
Die Auswertung von
ergibt z.B. für 
mit den Definitionen (6.63) und (6.64) aus Kap. 6.5 somit
Entsprechendes gilt für die 2 und 3 Komponenten.
Die vektorielle Zusammenfassung lautet somit
wobei 
der klassische Impuls
ist.
Die relativistische Lagrangefunktion unterscheidet sich von der
nichtrelativistischen nur in dem kinetischen Energieterm
Man erhält aus diesem Grund für den kinetischen Anteil des
generalisierten Impulses
den relativistischen anstelle des klassischen Impulses.
(b) Die Hamiltonfunktion
Um die relativistische Hamiltonfunktion (Kap. 8.5.4) gemäß der Definition
zu bestimmen, muss man zunächst den Ausdruck für die Komponenten des
generalisierten Dreierimpules (8.82)
nach den Geschwindigkeitskomponenten auflösen.
Man löst dazu zunächst die Relation
über
nach 
auf
und berechnet damit
Geht man damit in die Ausgangsgleichung (8.6.1) ein, so findet
man für die Komponenten der Dreiergeschwindigkeit
Es sind dann noch die freie Lagrangefunktion und der magnetische
Wechselwirkungsterm (8.79)
umzuschreiben, im Detail
Fasst man nun alle Terme in
zusammen, so findet man
das zu
und schließlich zu dem kompakten Resultat
zusammengefasst werden kann.
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<Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie, Details> R. Dreizler C. Lüdde
2005
