3 Die trigonometrischen Funktionen

Die Fortsetzung der Kosinus- und der Sinusfunktionen ins Komplexe wird durch die konvergenten Reihen

vermittelt. Auch für diese analytischen Funktionen kann man alle Eigenschaften, wie die Eulerschen Formeln

die Additionstheoreme

und den daraus folgenden Formelapparat, sowie die Ableitungsformeln

etc., aus den Reihendarstellungen gewinnen. Die Periodizitätsbedingungen

führen wie im Reellen auf die Existenz eines Fundamentalbereiches parallel zur imaginären Achse. In dem Streifen, charakterisiert durch

nehmen die komplexe Kosinus- und Sinusfunktion jeden von verschiedenen Wert an genau zwei verschiedenen Stellen an. Die Werte werden an genau einer Stelle des Streifen angenommen.

Da die Nullstellen der zwei Funktionen die gleichen sind wie im Reellen ( ganzzahlig)

sind die durch diese Funktionen vermittelten Abbildungen konform, außer an den Stellen für den Kosinus und für den Sinus.

Die Tangens- und die Kotangensfunktion können im Komplexen wie im Reellen über die Kosinus- und die Sinusfunktion definiert werden

Die Eigenschaften dieser Funktionen mit komplexen Argumenten lassen sich somit aus den Eigenschaften von und ableiten. So ist

• die Tangensfunktion in der gesamten -Ebene regulär, außer an den Stellen , für die ist.
• Entsprechend ist die Kotangensfunktion in der gesamten Ebene regulär, außer für .

Infolge der Periodizität

wählt man als Fundamentalstreifen in diesem Fall

In diesem Streifen nehmen und jeden von verschiedenen Wert genau einmal an, die Werte treten nicht auf.

Für die Ableitungen gilt wie im Reellen

Diese Ableitungen verschwinden nicht, also ist die durch die Tangens- und die Kotangensfunktion vermittelte Abbildung an jeder Stelle, an der diese Funktionen definiert sind, konform.

Um die Reihenentwicklung dieser Funktionen zu gewinnen, kann man auf die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion zurückgreifen. Man schreibt z.B. für (Multiplikation mit um die Singularität bei zu vermeiden)

setzt die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion im Nenner ein und wertet den Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten

aus, indem man mit der (absolut konvergenten) Nennerreihe erweitert. Koeffizientenvergleich liefert ein System von linearen Gleichungen mit einem binomischen Muster

Durch konsekutive Auflösung erhält man dann die Bernoullischen Zahlen

Da alle Koeffizienten mit ungeradem Index größer als verschwinden, findet man für die gesuchte Reihe

Die Reihe für die Tangensfunktion kann in der gleichen Weise oder über Relationen wie

gewonnen werden. Das Resultat ist

Der Konvergenzradius dieser Reihen

entspricht den Nullstellen der Nenner in der Definition dieser Funktionen.