6 Die zyklometrischen Funktionen

Die Umkehrung der trigonometrischen Funktionen führt auf die zyklometrischen Funktionen

Auch die Abbildungen, die durch diese Funktionen vermittelt werden, sind vieldeutig. So liegt der Hauptwert der Arcussinusfunktion in dem Intervall

da in diesem Intervall die Sinusfunktion alle möglichen Werte genau einmal annimmt. Da sich durch die Exponentialfunktion darstellen lässt, ist es möglich, die Umkehrfunktion durch den Logarithmus darzustellen. Aus

folgt die quadratische Gleichung

mit der Lösung

Die positive Wurzel liefert

wobei auch hier die Bemerkung notwendig ist, dass jeder Wert auf der einen Seite der Gleichung unter den Werten auf der anderen Seite enthalten ist.

Die Reihenentwicklung der reellen Arcussinusfunktion kann ins Komplexe fortgesetzt werden. Der Hauptwert wird durch

dargestellt. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist . Die Reihe konvergiert jedoch noch für und ergibt eine Reihendarstellung für .

Auf eine entsprechende Andeutung der Eigenschaften der drei anderen zyklometrischen Funktionen ebenso wie auf die Diskussion der Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen soll verzichtet werden.