6 Der Residuensatz

Der Koeffizient der ersten negativen Potenz der Laurentreihe wird als das Residuum der Funktion in bezeichnet. Gemäß der Laurentreihe gilt für eine geschlossene, positiv orientierte Kurve , die ganz in einem Regularitätsgebiet um verläuft,

Liegen in dem Innengebiet von endlich viele singuläre Stellen, so kann man diese Definition auf den Residuensatz erweitern. Man legt um die singulären Stellen hinreichend kleine, positiv orientierte Kreise und erhält anhand der in Abb. 2.9 angedeuteten Zerlegung der umfassenden Kontur

Diese Zerlegung wird meist in der Form

zitiert.

Abbildung 2.9: Integralsatz: Zum Residuensatz

Der Residuensatz findet in vielen Bereichen Anwendung. Einige Beispiele sind:

1. Zu berechnen ist das Integral entlang der reellen Achse
   
   
   
   
   Elementare Auswertung (als uneigentliches Integral mittels der Arcustangensfunktion) ergibt den Wert . Das Integral eignet sich aber auch, die Auswertung mit Hilfe des Residuensatzes zu illustrieren und das allgemeine Muster zur Berechnung solcher Integrale aufzuzeigen. Man wählt (siehe Abb. 2.10) als Integrationsweg einen Weg von entlang der reellen Achse zu dem Punkt und von dort längs eines Halbkreises mit dem Radius zurück zu dem Punkt . Die Zerlegung des Integranden
   
   
   
   
   zeigt, dass der Weg (für ) den Pol bei einschließt, dessen Residuum mit abgelesen werden kann. Nach dem Residuensatz ist
   
   
   
   
   Auf der anderen Seite gilt
   
   
   
   
   Für den Beitrag des Halbkreises findet man die Abschätzung
   
   
   
   
   wobei der maximale Betrag des Integranden entlang des Weges und die Länge des Weges ist. Für das Beispiel ist
   
   
   
   

   Abbildung 2.10: Beispiel zur Anwendung des Residuensatzes

   
   Der Beitrag des Halbkreises verschwindet für , es verbleibt in diesem Grenzfall das Integral über die reelle Achse.
2. Im Fall des Integrals
   
   
   
   
   ist die elementare Auswertung nicht einfach. Zur Anwendung des Residuensatzes würde man mit dem Integral
   
   
   
   
   beginnen, wobei der gleiche Integrationsweg wie im vorherigen Beispiel ist. Ist , so ist die Polstelle bei in die Kontur eingeschlossen und man erhält
   
   
   
   
   Die Abschätzung des Beitrages des Halbkreises ist
   
   
   
   
   Der Beitrag verschwindet für , so dass in diesem Fall das Ergebnis lautet
   
   
   
   
   bzw. wenn man den Realteil auf beiden Seiten nimmt (das Integral mit verschwindet infolge der Symmetrie)
   
   
   
   

In beiden Beispielen erweist sich die Abschätzung der Ergänzung der Kontur zu einem geschlossenen Weg als der wesentliche Punkt. Hat der Integrand die Form mit reellem und einer Funktion , die mit gegen Null geht, so gilt allgemein

wobei die Ergänzung je nach Vorzeichen des Argumentes der Exponentialfunktion ein Halbkreis in der oberen () oder unteren () Halbebene ist.

In vielen Beispielen zur Auswertung von uneigentlichen Integralen entlang der reellen Achse ist die Ergänzung durch Halbkreise nützlich, doch sind andere Ergänzungen zu geschlossenen Konturen, z.B. durch die drei fehlenden Seiten eines Rechtecks, durchaus möglich.

3.

Das letzte Beispiel illustriert eine Situation mit einem Verzweigungspunkt bzw. Verzweigungsschnitt. Um das Integral

zu berechnen, beginnt man mit dem komplexen Integral

Der Integrand hat einen singulären Verzweigungspunkt bei und einen einfachen Pol bei . Wählt man als Wertebereich der Darstellung von

den Bereich , so ist die positive reelle Achse ein Verzweigungsschnitt. Es ist deshalb nicht möglich, die Integrationskontur entlang der reellen Achse zu nehmen.

Abbildung 2.11: Beispiel zur Integration um einen Verzweigungsschnitt

Eine Möglichkeit ist die in Abb. 2.11 gezeigte Kontur , die aus zwei Geraden parallel zu dem Verzweigungsschnitt ( und ), einem Teilkreis mit Radius und einem Teilkreis mit Radius um die Stelle besteht. Es ist dann

Auf der anderen Seite ist

Es ist nun zu untersuchen, was in dem Grenzfall

passiert. Die Gerade liegt dann auf dem nächsten Blatt der Riemannschen Fläche. Unter Beachtung der Richtung der Integration findet man

Die Gerade bleibt auf dem Hauptblatt

Die beiden Teilkreise werden zu Kreisen mit

Es verbleibt also

bzw. nach Sortierung