2 Helmholtz-/Laplacegleichung, kartesische Koordinaten

In diesem Abschnitt soll die Helmholtzgleichung

betrachtet werden. Diese ist nur ein wenig allgemeiner als die Laplacegleichung, die entspricht. Die Differentialgleichung

kann in zwei Schritten separiert werden. Mit dem Ansatz

sortiert man die Differentialgleichung z.B. in der Form

Die linke Seite hängt nur von ab, muss also gleich einer Konstanten sein. In der restlichen Differentialgleichung trennt man die Variablen noch einmal

und setzt beide Seiten gleich einer zweiten Konstanten . Die drei getrennten Differentialgleichungen können somit in der gleichen Form angegeben werden

sofern man die Relation

beachtet.

Die Lösung dieser Differentialgleichungen kann durch die Exponentialfunktion (oder Kosinus und Sinus) dargestellt werden, so sind z.B. die Fundamentallösungen für

Jede der Differentialgleichungen stellt jedoch ein Randwertproblem dar. Für die Angabe der expliziten Lösung benötigt man die Vorgabe von je zwei Funktionswerten, wie z.B.

Das Randwertproblem wird in Math.Kap. 3.2 diskutiert.