1 Definition der Greenschen Funktion

Für die Poissongleichung ist, wie für eine gewöhnliche inhomogene, lineare Differentialgleichung, ein Lösungsansatz der Form

möglich, wobei beide Lösungsanteile zusammen die gestellten Randbedingungen erfüllen müssen. Die partikuläre Lösung kann über den Ansatz

diskutiert werden. Die hier eingeführte Funktion eine Funktion von sechs Variablen, bezeichnet man als eine Greensche Funktion. Wirkt man mit dem Laplaceoperator auf den allgemeinen Lösungsansatz ein, so folgt

Da eine Lösung der Laplacegleichung ist, gilt

Diese Gleichung ist erfüllt, wenn die Greensche Funktion der Differentialgleichung

gehorcht. Da die Greensche Funktion durch eine `Punktladung` und Randbedingungen, nicht aber durch eine spezifische Ladungsverteilung, bestimmt ist, ist zu erwarten, dass eine Greensfunktion bestimmte Klassen von Randwertaufgaben abdeckt, so z.B. für Dirichletbedingungen auf zwei konzentrischen Kugelschalen unabhängig von der Art der Ladungsverteilung in dem Zwischenraum. Die Aufbereitung derartiger allgemeiner Lösungsformeln soll hier im Vordergrund stehen. Die Frage nach der expliziten Berechnung von Greenschen Funktionen wird in Kap. 4.3 und in den Aufgaben angesprochen.