2 Die Greenschen Integralsätze

Die weitere Aufbereitung basiert auf den sogenannten Greenschen Integralsätzen. Diese folgen direkt aus dem schon öfter zitierten Divergenztheorem (Band 1 Math.Kap. 5.3.3)

Der Bereich ist von der Fläche umschlossen. Diese Relation gilt für beliebige Vektorfelder . Benutzt man speziell ein Vektorfeld der Form

wobei die Funktionen und zwei beliebige, differenzierbare Skalarfelder darstellen, so gilt

sowie

Die Ableitung ist die Normalenableitung der Skalarfunktion auf der Fläche wobei der Normalenvektor in den Außenbereich des Volumens zeigt. Setzt man diese Vorgaben in das Divergenztheorem ein, so folgt

Diese Relation zwischen einem Volumenintegral und einem Oberflächenintegral von zwei Skalarfeldern bezeichnet man als den ersten Greenschen Integralsatz. Man kann die Argumentation mit dem Ansatz

wiederholen. Es folgt dann die Relation

Subtraktion dieser Varianten des Divergenztheorems ergibt den zweiten Greenschen Integralsatz (auch Greens Theorem genannt)