3 Die allgemeine Lösungsformel des Randwertproblems

Setzt man in Greens Theorem die speziellen Funktionen

ein, so erhält man in wenigen Schritten die gesuchte allgemeine Lösungsformel. Man benutzt die Differentialgleichungen

und erhält mit dem Greenschen Theorem (1)

Diese Gleichung wird nach aufgelöst und die Variablen werden umbenannt Das Resultat ist die Lösungsformel

Mit dieser Relation ist ein Zusammenhang zwischen dem Potential und der Greens Funktion hergestellt. Die Formel besagt: Sind die Ladungsverteilung und die Greensche Funktion bekannt und ist und auf Randflächen eines Bereiches vorgegeben , so kann man das Potential in jedem Punkt des Bereiches berechnen. Da jedoch und für das Potentialproblem nicht gleichzeitig auf den Randflächen vorgegeben werden können, muss die Greens Funktion bestimmte Bedingungen erfüllen, die mit den Randbedingungen des gestellten Problems korrespondieren. Diese Randbedingungen für die Greensche Funktion sollen nun im Einzelnen festgelegt werden.

• Einfache Randbedingungen: In diesem Fall ist das Gebiet der gesamte Raum, der Rand ist entsprechend eine unendlich große Kugelfläche. Mit der Vorgabe, dass das Potential auf verschwindet
  
  
  
  
  erhält man aus der zentralen Gleichung (2) gemäß den Randbedingung für das Potential
  
  
  
  
  Da die Richtungsableitung auf der unendlich großen Kugel nicht vorgegeben ist, ist das Potentialproblem nur eindeutig lösbar, falls die Greens Funktion die Randbedingung
  
  
  
  
  erfüllt.

  Die Lösung der Differentialgleichung für die Greensche Funktion mit dieser Randbedingung ist das Punktladungspotential
  

  
  
  
  an dem man explizit eine Symmetrie der Greensfunktion erkennt. Die allgemeine Lösungsformel geht in diesem Spezialfall in das bekannte Resultat
  
  
  
  
  über.
• Dirichletrandbedingungen: Für den Dirichletfall ist ein beliebiges, geschlossenes Gebiet (Abb. 3.5).

  Abbildung 3.5: Zum Dirichletproblem

  
  Das Potential ist auf den Randflächen vorgegeben
  
  
  
  
  Betrachtet man die allgemeine Lösungsformel (2), so stellt man fest: Da die Richtungsableitung nicht vorgegeben ist, muss man auf den Randflächen
  
  
  
  
  fordern, damit man nicht in einen Widerspruch gerät. Die Greensche Funktion muss auf der Randfläche verschwinden. Die Lösungsformel reduziert sich in diesem Fall auf die Aussage
  
  
  
  
  
  
  
  Die Greensche Funktion bestimmt, bei vorgegebener Ladungsverteilung und vorgegebenen Potentialwerten auf dem Rand, die Lösung des Poissonproblems.
• Neumannsche Randbedingungen: In dem Fall von Neumannschen Randbedingung ist auf den Randflächen vorgegeben. Die allgemeine Lösungsformel wäre in diesem Fall verwertbar, wenn für die Greensche Funktion die Randbedingung
  
  
  
  
  gilt. Diese Forderung ist jedoch nicht erfüllbar. Sie widerspricht der Differentialgleichung für die Greensche Funktion. Anwendung des Divergenztheorems ergibt nämlich
  
  
  
  
  
  
  
  Eine mögliche (aber trotzdem einfache) Wahl der Randbedingung ist
  
  
  
  
  Aus dem Divergenztheorem folgt dann für die Konstante
  
  
  
  
  wobei die Fläche von ist. Die Lösungsformel lautet in diesem Fall
  
  
  
  
  
  
  
  Der zweite Term ist der Mittelwert des Potentials auf den vorgegebenen Randflächen. Die Tatsache, dass ein solcher Term auftritt, ist mit der Aussage verknüpft, dass das Neumann Problem keine vollständig eindeutige Lösung besitzt. Ist jedoch eine der Randflächen eine unendlich große Kugel, so ist die Fläche unendlich groß und man kann diesen Term ignorieren. Die anderen Terme stellen den Beitrag der vorgegebenen Ladungsverteilung und den Oberflächenbeitrag, der durch die Normalenableitung des Potentials bestimmt ist, dar.