1 Definition der retardierten Greensfunktion durch Konturintegration

Man beginnt zweckmäßigerweise mit der Betrachtung der -Integration in der allgemeinen Form

Derartige Integrale mit (komplexen) Funktionen entlang einer reellen Achse kann man durch Konturintegration berechnen. Die Technik ist eine Ergänzung des Integrationsweges durch einen geeigneten, unendlich großen Halbkreis zu einem geschlossenen Weg und anschließende Anwendung der Cauchyschen Integralformeln. Man muss dabei die zwei möglichen Fälle und unterscheiden.

• Ist , so benutzt man zur Ergänzung einen Halbkreis in der unteren komplexen Halbebene (Abb. 3.6), der im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Für das Argument der Exponentialfunktion findet man für Punkte in der unteren komplexen Ebene mit
  
  
  
  
  die Faktorisierung
  
  
  
  
  Der Faktor bedingt, dass im Grenzfall das Kurvenintegral über den Halbkreis nicht beiträgt und somit der Wert des Integrals entlang der reellen Achse durch die Ergänzung nicht verfälscht wird.

  Abbildung 3.6: Konturintegration: Ergänzungen zu geschlossenen Kurven mit eingeschlossenen Polstellen

  
  Weist die Funktion entlang der reellen Achse keine Singulariäten auf, so kann man für das Integral entlang dieser Achse
  
  
  
  
  schreiben. Auf das Integral entlang der geschlossenen Kurve kann man nun den Residuensatz anwenden und findet
  
  
  
  

• In dem Fall benutzt man entsprechend einen Halbkreis in der oberen Halbebene (Abb. 3.6), der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird, und findet mit
  
  
  
  
  und
  
  
  
  
  die Aussage
  
  
  
  
  
  
  
  Die jeweiligen Vorzeichen vor der Summe über die Residuen entsprechen der entgegengesetzten Orientierung der beiden Kurven des Konturintegrals.

Das Integral, das bei der Diskussion der Greenschen Funktion ansteht,

unterscheidet sich von diesen einfachen Fällen, denn der Integrand hat Polstellen auf der reellen Achse, und zwar einfache Pole an den Stellen Aus diesem Grund ist das Integral nicht definiert. Man kann jedoch verwandte Integrale betrachten, bei denen man die Polstellen umgeht.

Abbildung 3.7: Konturintegration: Umgehung von Polstellen auf der reellen Achse

Abbildung 3.8: Konturintegration: Umgehung von Polstellen auf der reellen Achse

`Umgehen` bedeutet dabei: Integriere entlang der reellen Achse bis zu der ersten Polstelle, umgehe die singuläre Stelle mit einem kleinen Halbkreis (in der oberen oder der unteren Halbebene), integriere weiter entlang der reellen Achse bis zu der zweiten singulären Stelle, umgehe auch diese mit einem kleinen Halbkreis, integriere weiter entlang der reellen Achse und ergänze schließlich, wie oben, dieses Integral zu einem Konturintegral über eine geschlossene Kurve durch einen unendlich großen Halbkreis in der unteren oder der oberen Halbebene. Der Integrationsweg schneidet nicht durch singuläre Stellen und z.B. das beschriebene Kurvenintegral lautet im Detail

Nach der Ausführung der Integration betrachtet man den Grenzfall, dass die Radien der beiden kleinen Halbkreise gegen Null gehen. Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten (Abb. 3.7a,b und 3.8a,b), die Polstellen zu umgehen. Auf diese Weise kann man vier Funktionen definieren

die die Differentialgleichung der zeitabhängigen Greenschen Funktion sowie zusätzliche Bedingungen erfüllen und die wohldefiniert sind. Die Frage, die bei der Untersuchung dieser Funktionen im Vordergrund steht, lautet: Entspricht eine der vier Möglichkeiten der Kausalitätsbedingung?

Auch bei der Untersuchung der vier Konturintegrale muss man die Fälle unterscheiden, dass die Zeitdifferenz größer oder kleiner als Null ist.

• Ist , so ist eine Ergänzung des Integrationsweges entlang der reellen Achse durch einen großen Halbkreis in der oberen Halbebene notwendig.

  Abbildung 3.9: Konturintegration: Ergänzungen der Kontur für

  
  Man stellt fest, dass für die Umgehung in diesem Fall das Konturintegral verschwindet, da keine Polstelle innerhalb des geschlossenen Integrationsweges liegt (Abb. 3.9a)
  
  
  
  
  Für die Umgehungen - sind eine oder zwei Polstellen in dem Integrationsweg eingeschlossen, so dass man Beiträge von den entsprechenden Residuen erhält (Abb. 3.9b)
  
  
  
  

• Im Fall einer positiven Zeitdifferenz ist eine Ergänzung des Integrationsweges in der unteren Halbebene notwendig. Für den so

  Abbildung 3.10: Konturintegration: Ergänzungen der Kontur für

  
  geschlossenen Integrationsweg ergibt der Weg (Abb. 3.10a) einen nichtverschwindenden Beitrag, da die Polstellen von dem Weg eingeschlossen werden. Es ist
  
  
  
  
  Eine entsprechende Aussage gilt für die Optionen und (Abb. 3.10b), während der Integrationsweg mit der Option in diesem Fall keinen Beitrag ergibt.

Die Frage, welche der vier möglichen Umgehungen der Polstellen die Kausalitätsbedingungen ( )

erfüllt, ist nun leicht zu beantworten. Es ist die Umgehung , denn es gilt

Ohne expliziten Beweis sei erwähnt, dass man mit der Umgehung , die einen Beitrag für die Ergänzung im Fall , jedoch keinen Beitrag für liefert, eine avancierte Greens Funktion gewinnen würde. Die Optionen und , bei denen sich sowohl für als auch für Beiträge ergeben, entsprechen Greens Funktionen für stehende Wellen.

Anhand dieser Betrachtungen bietet sich die folgende, vollständige Definition einer retardierten Greens Funktion an

Der Integrationsweg entlang der reellen Achse ist der für die retardierte Greens Funktion zuständige Weg. Die notwendige Ergänzung zu einer geschlossenen Kontur durch unendlich große Halbkreise in der oberen oder der unteren Halbebene regelt das Vorzeichen der Zeitdifferenz . Die Kontur (nichtkausal) schließt keine Pole ein, das Integral hat den Wert Null. Der relevante Beitrag zu der retardierten Greens Funktion ist das Integral mit dem Integrationsweg (kausal). Die nächste Aufgabe ist die explizite Auswertung dieses Integrals.