3 Variante

Eine Variante für die Definition der retardierten Greens Funktion, die in der Praxis oft Anwendung findet, soll noch erwähnt werden. Anstatt den Integrationsweg zu deformieren (und die Deformation nach Auswertung rückgängig zu machen), kann man die Pole in die untere Halbebene verschieben (und die Verschiebung nach Auswertung des Integrals rückgängig machen). Dies erreicht man mit der Ersetzung

Das Integral kann dann mit einem Integrationsweg, der entlang der reellen Achse verläuft und für durch einen unendlich großen Halbkreis in der oberen Halbebene geschlossen wird (für durch einen Halbkreis in der unteren Halbebene), berechnet werden (Abb. 3.11). Es ist dann der Grenzwert für zu betrachten

Da nur der Grenzfall gefragt ist, genügt der Nenner

Abbildung 3.11: Konturintegration: Verschiebung der Polstellen

Die Auswertung des -Integrals in der Gleichung für mit der Cauchyformel, des Integrales über die Wellenzahl mit den gleichen Schritten wie zuvor und letztlich die Durchführung des Grenzüberganges ergibt das gleiche Resultat wie die Deformation der Kontur.