4 Spezielle Funktionen der mathematischen Physik

Spezielle Funktionen, die eine komplexere Struktur als die elementaren Funktionen aufweisen, können in verschiedener Weise definiert werden. Die Gammafunktion, eine Erweiterung des Konzeptes der Fakultät, wird durch ein Integral oder alternativ durch eine Funktionalgleichung eingeführt. Da bei der Diskussion der anderen speziellen Funktionen, die in diesem Kapitel angesprochen werden, Eigenschaften der -Funktion benutzt werden, beginnt dieses Kapitel mit einer kompakten Zusammenstellung von Aussagen über diese Funktion (Math.Kap 4.1). Alle weiteren speziellen Funktionen in diesem Kapitel, wie die Besselfunktionen, Legendreschen Polynome etc., werden essentiell durch homogene, lineare, gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung definiert, die bei der Separation der Laplacegleichung in krummlinigen Koordinaten auftreten. Der Typus von Differentialgleichung, der in diesem Zusammenhang diskutiert werden muss, hat die Form

wobei die Funktionen und vorgegeben sind. Die erste Aufgabe ist die Bereitstellung von Werkzeugen, um die Struktur derartiger Differentialgleichungen zu sortieren und Lösungsstrategien zu entwickeln. Diese Aufgabe wird in Math.Kap. 4.2 betrachtet. Im Weiteren werden dann in Math.Kap. 4.3 bis Math.Kap. 4.6 die wichtigsten speziellen Funktionen, die man in der Elektrodynamik antrifft, in einigem Detail vorgestellt.