1 Die Gammafunktion

Die -Funktion, die in Band 1 Math.Kap. 4.3.1 eingeführt wurde, kann entweder durch das Integral

oder durch die Funktionalgleichung

definiert werden. Der Zusammenhang ergibt sich durch partielle Integration

Eine analytische Fortsetzung ins Komplexe ist möglich, wobei

gilt. Alle weiteren Aussagen zu der -Funktion können aus der Definition abgeleitet werden. Da

ist, folgt für positive ganze Zahlen

Die -Funktion ist eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fakultät. Die -Funktion mit dem Argument , wobei ist kann auf zurückgeführt werden. So ist z.B.

Für berechnet man

Oft wird auch die Notation

benutzt.

Die -Funktion für negative Argumentwerte erhält man durch rückwärtige Anwendung der Funktionalgleichung bis das Argument positiv wird, für also

Aus dieser Relation ergeben sich die Aussagen

• Ist eine ganze Zahl , so tritt der Zähler auf. Da jedoch ist, muss sein. Die -Funktion ist für negative ganze Zahlen nicht definiert.
• Infolge des Vorzeichens wechselt die Funktion für negative Argumentwerte () von Intervall zu Intervall das Vorzeichen. So ist sie in dem Intervall negativ, in dem Intervall positiv, etc. (siehe Abb. 4.1).

  Abbildung 4.1: Die Funktion

  
• Ein explizites Beispiel für die Anwendung der rückwärtigen Rekursion ist . Man findet
  
  
  
  

Ohne Beweis sollen noch die folgenden Eigenschaften notiert werden

• Die sogenannte Reflexionsformel
  
  
  
  

• die Darstellung des Binomialkoeffizienten durch die -Funktion
  
  
  
  

• die logarithmische Ableitung der -Funktion, die Digammafunktion
  
  
  
  
  mit der Rekursionsformel
  
  
  
  

• Einige nichttriviale Integrale, die auf Ausdrücke mit der -Funktion führen, findet man z.B. in dem ersten Kapitel des Buches

  
  W. Magnus und F. Oberhettinger, Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen Physik (Springer Verlag, Heidelberg (1948)).