2 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Zur Charakterisierung der Struktur der Lösungen der Differentialgleichungen (3) betrachtet man die Singularitäten der Koeffizientenfunktionen und . Ein Punkt wird als ein regulärer Punkt der Differentialgleichung bezeichnet, falls sowohl als auch an dieser Stelle analytische Funktionen (siehe Math.Kap. 2.3) sind. Ist dies nicht der Fall, so liegt ein singulärer Punkt der Differentialgleichung vor, und zwar definiert man:

• Der Punkt ist ein regulärer singulärer Punkt, falls die Grenzwerte
  
  
  
  
  endlich sind, also wenn die Funktionen an der Stelle einen Pol erster bzw. zweiter Ordnung haben. Eine Bezeichnung, die auch benutzt wird, ist außerwesentlich singulärer Punkt.
• Der Punkt wird als irregulärer singulärer Punkt bezeichnet, falls einer dieser Grenzwerte unendlich ist.
• In einigen Fällen ist es notwendig, das Verhalten der Differentialgleichung an den Stellen zu untersuchen. Zu diesem Zweck benutzt man die Transformation und untersucht die Stelle der transformierten Differentialgleichung.

Der Sprachgebrauch deutet an, dass es nützlich (doch nicht unbedingt erforderlich) ist, die Betrachtungen ins Komplexe fortzusetzen.