2 Lösung durch Reihenentwicklung

Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die nur reguläre singuläre Punkte besitzen, zählen zu der Fuchsschen Klasse von Differentialgleichungen. Eine klassische Methode zur Bestimmung der Lösung solcher Differentialgleichungen ist die Reihenentwicklung. Man muss dabei unterscheiden, ob die Entwicklung um einen regulären oder einen singulären Punkt gesucht wird.

Für die Entwicklung um einen regulären Punkt ist der Standardpotenzreihenansatz

ausreichend. Man geht mit dem Ansatz in die Differentialgleichung ein und vergleicht Koeffizienten mit der gleichen Potenz von . Zur Erläuterung der Methode folgen zwei Beispiele.

• Die Differentialgleichung wird bekanntlich von der Sinus- und der Kosinusfunktion erfüllt. Die Entwicklung um den regulären Punkt ergibt die Aussage
  
  
  
  
  Um die Koeffizienten zu vergleichen, schreibt man für die erste Reihe mit Umbenennung des Summationsindexes
  
  
  
  
  und liest die Rekursionsrelation
  
  
  
  
  ab, die Koeffizienten mit geradem bzw. ungeradem Index verknüpft. Die Koeffezienten und werden durch die Vorgabe von und (Anfangswertaufgabe) oder und (Randwertaufgabe), nicht aber durch die Rekursion auf der Basis der homogenen Differentialgleichung bestimmt. Auflösung der Rekursion ergibt
  
  
  
  
  
  
  
  und somit nach Resummation die allgemeine Lösung
  
  
  
  

• Die Differentialgleichung ist eine Umformung der Schrödingergleichung des eindimensionalen, quantenmechanischen harmonischen Oszillators. Der Potenzreihenansatz liefert in diesem Fall (nach Umbenennung der Summationsindizes, wo erforderlich)
  
  
  
  
  In diesem Beispiel tritt eine dreigliedrige Rekursionsformel auf. Die Koeffizienten und sind gleich Null zu setzen, da sie in dem Ansatz nicht vorkommen, die Koeffizienten und sind wie in dem vorherigen Beispiel nicht bestimmt. Die weitere Auflösung der Rekursion liefert
  
  
  
  
  
  
  
  Alle weiteren Koeffizienten sind ebenfalls proportional zu oder , doch wird die Auflösung der Rekursion etwas mühselig. Einen besseren Zugang zur Lösung des quantenmechanischen harmonischen Oszillatorproblems wird auf Band 3 vertagt.

In den zwei Beispielen erhält man mit dem Potenzreihenansatz zwei linear unabhängige Lösungen und . Dies ist jedoch nicht immer der Fall. Eine Methode zur Bestimmung einer zweiten linear unabhängigen Lösung basiert auf der Auswertung der Wronskideterminante (Band 1 Math.Kap. 2.2.2)

Für die lineare Differentialgleichung (3), die hier zur Diskussion steht, ist

so dass für die Wronskideterminante die Relation

folgt. Integration dieser Relation in dem Intervall ergibt

Sortiert man nun

löst nach der Ableitung auf, setzt die zweite Form der Wronskideterminante ein

und integriert von einem Punkt bis , so findet man, infolge der Tatsache, dass ist, für die zweite linear unabhängige Lösung die Berechnungsvorschrift

Da mit und auch eine Linearkombination dieser Funktionen linear unabhängig ist, kann man den ersten Term unterdrücken, ebenso den Beitrag durch die untere Integrationsgrenze . Letztlich interessiert, für die Lösung einer homogenen Differentialgleichung, der konstante Vorfaktor nicht, so dass man die vereinfachte Relation

benutzen kann.

Ist der Punkt ein regulärer singulärer Punkt, so kann man wenigstens eine der zwei Lösungen des Fundamentalsystems mit einem Potenzreihenansatz erfassen, man benötigt jedoch eine modfizierte Form

Da im Allgemeinen an der Stelle nicht analytisch ist, kann der zusätzliche Faktor dazu dienen, ein singuläres Verhalten an dieser Stelle aufzufangen. Um die Auswirkungen dieses Ansatzes zu überschauen, schreibt man die Differentialgleichung (3) in der Form

wobei die Funktionen und nun in eine Taylorreihe um entwickelt werden können

Geht man mit der Entwicklung von und den Entwicklungen für die Funktionen und in die Differentialgleichung (3) ein, so findet man die Bedingung

Die niedrigste, auftretende Potenz von ist . Setzt man den Koeffizienten dieser Potenz gleich Null, so erhält man die Index- oder Fundamentalgleichung

bzw.

eine quadratische Gleichung, aus der man bestimmen kann. Setzt man den Koeffizienten von gleich Null, so folgt die Rekursionsrelation

zur Bestimmung der weiteren Koeffizienten (Kenntnis von und vorausgesetzt).

Je nach der Natur der Lösungen der Indexgleichung muss man drei Fälle unterscheiden:

1. Die beiden Wurzeln sind verschieden und deren Differenz ist keine ganze Zahl. Aus der Rekursion ergeben sich für die zwei Wurzeln und der Indexgleichung zwei linear unabhängige Lösungen
   
   
   
   
   wobei der Koeffizient jeweils unabhängig von bzw. ist und aus zusätzlichen Bedingungen bestimmt werden muss.
2. Die beiden Wurzeln sind gleich ( ). In diesem Fall hat man eine Lösung
   
   
   
   
   Eine zweite linear unabhängige Lösung kann man über die Relation (4), die unabhängig davon ist, ob man um einen regulären oder regulären singulären Punkt entwickelt hat, gewinnen. Varianten, die man anhand der Grundrelation (4) gewinnen kann, sind in der Literatur dokumentiert.
3. Die Differenz , wobei die größere der beiden Wurzeln ist, ist eine positive ganze Zahl. Linear unabhängige Lösungen sind dann
   
   
   
   
   und eine Lösung auf der Basis von (4) bzw. Varianten dieser Relation.

Die drei Fälle können anhand der Besselschen Differentialgleichung (siehe Math.Kap. 3.1.4 mit und zur Anpassung an die Standardnomenklatur)

illustriert werden. Der Punkt ist ein regulärer singulärer Punkt. Nur drei Entwicklungskoeffizienten der Funktionen und um diese Stelle sind ungleich Null

Die Fundamentalgleichung und die Rekursionsformel lauten somit in diesem Beispiel

1. Ist nicht ganzzahlig oder Null, so liefert die Rekursionsformel die Aussagen
   
   
   
   
   
   
   
   Die erste Gleichung erfordert , die zweite besagt dann, dass alle Koeffizienten mit ungeradem Index ebenfalls gleich Null sind. Die Auflösung der Rekursion für gerade Indexwerte ist
   
   
   
   
   
   
   
   ein Ergebnis, das in der Form
   
   
   
   
   zusammengefasst werden kann. Die linear unabhängigen Grundlösungen für () sind somit
   
   
   
   
   
   
   

2. Betrachtet man den Fall , so ist offensichtlich zunächst nur eine Lösung gegeben. Die Rekursion ergibt
   
   
   
   
   und somit
   
   
   
   
   Um eine zweite gemäß der angegebenen Vorschrift (4) zu gewinnen, muss man das Integral
   
   
   
   
   berechnen. Setzt man die erste Lösung (mit )
   
   
   
   
   ein und entwickelt den Nenner in eine Potenzreihe, so verbleibt
   
   
   
   
   Nach Auswertung der Integrale (und gegebenenfalls Untersuchung der Konvergenz) findet man als zweite linear unabhängige Lösung
   
   
   
   

3. Das dritte Beispiel ist die Besselsche Differentalgleichung mit bzw. . Für lautet die Rekursion . Man erhält
   
   
   
   
   und
   
   
   
   
   Die Rekursionsformel für
   
   
   
   
   ist nicht auflösbar. Die zweite Fundamentallösung kann man jedoch wie im Fall gewinnen. Die Zutaten sind (mit )
   
   
   
   
   
   
   

Die hier auftretenden Besselfunktionen werden in Math.Kap 4.4 näher diskutiert.