1 Die Legendreschen Polynome

Für eine Entwicklung um den regulären Punkt genügt der einfache Potenzreihenansatz

Geht man damit in die Differentialgleichung

ein und sortiert, so findet man die Aussage

aus der man durch Koeffizientenvergleich die Rekursionsformel

erhält. Setzt man hier und ein, so erhält man die Koeffizienten von zwei Potenzreihen

Da die erste Funktion gerade ist, die zweite jedoch ungerade, sind die zwei Funktionen linear unabhängig. Durch den Potenzreihenansatz kann man ein Fundamentalsystem von Lösungen bestimmen.

Ein Konvergenztest mit dem Quotientenkriterium (Band 1 Math.Kap. 1.3.3)

zeigt, dass die Reihen für konvergieren, und zwar unabhängig von dem Wert des Parameters . Für muss man anhand verfeinerter Kriterien jedoch feststellen, dass die Reihen divergieren. Da die Punkte mit zu dem Definitionsbereich zählen und da aus physikalischen Gründen nur endliche (und stetige) Winkelfunktionen zulässig sind (ansonsten wäre z.B. die Berechnung der in einem Volumen eingeschlossenen Ladung nicht möglich), gibt es nur einen Ausweg, um Funktionen zu definieren, die für die physikalischen Anwendungen nützlich sind. Die Separationskonstante muss die Form

haben, denn dann bricht die Rekursion

• für die Funktion mit ab, falls gerade ist. Diese Polynomlösung ist natürlich für endlich. Die Rekursion für die Funktion bricht nicht ab, man erhält z.B. mit der Rekursionsformel mit
  
  
  
  
  für die Funktion
  
  
  
  
  eine Reihe, die man zu
  
  
  
  
  zusammenfassen kann. Man erkennt explizit das divergente Verhalten an den Stellen .
• für die Funktion mit ab, falls ungerade ist. In diesem Fall ist die Funktion weiterhin divergent. Für findet man z.B. anhand der Rekursion
  
  
  
  
  die Reihe
  
  
  
  

In Zusammenfassung kann man somit feststellen: Zu jedem gibt es

• eine Polynomlösung. Die Standardnomenklatur für diese Polynome ist . Sie haben die Form
  
  
  
  
  
  
  
  Dies sind die Legendreschen Polynome.
• Zu jeder Polynomlösung gibt es einen linear unabhängigen Partner, der in der Standardnomenklatur mit bezeichnet wird. Diese Funktionen haben, wie für die einfachsten Fälle angedeutet, die Form
  
  
  
  
  Sie sind alle an den Stellen logarithmisch divergent. Sie werden benötigt, wenn eine allgemeine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung gefragt ist, für die Diskussion des Potentialproblems der Elektrodynamik spielen sie keine direkte Rolle.

Da die Legendrepolynome zu dem Rüstzeug der theoretischen Physik zählen, ist eine detailliertere Untersuchung ihrer Eigenschaften unerlässlich.

An dieser Stelle muss auf die Standardformelsammlungen für die speziellen Funktionen hingewiesen werden. Sie enthalten auch nicht alle möglichen Formeln für alle benötigten Funktionen, doch kann man gegebenenfalls speziellere Literaturstellen entnehmen. Diese Formelwerke sind

• M. Abramovitz, I. Stegun: `Handbook of Mathematical Functions` (Dover Publications, New York, 1974)
• F. Lösch ed.: `Jahnke, Emde, Lösch, Tafeln Höherer Funktionen` (Teubner, Stuttgart, 1966)
• (*) W. Magnus, F. Oberhettinger: `Formeln und Sätze für die speziellen Funktionen der mathematischen Physik` (Springer Verlag, Heidelberg, 1948)
• (*) I.N. Sneddon: `Spezielle Funktionen der Mathematischen Physik` (Bibliographisches Institut, Mannheim, 1961)

(Werke, die (soweit den Internet-Seiten der Verlage entnehmbar) nicht mehr im Handel erhältlich sind, sind durch (*) markiert.)