1 Erzeugende Funktion.

Ein Hilfsmittel in der Potentialtheorie ist die Entwicklung der Abstandsfunktion

nach Potenzen von bzw. . Charakterisiert man die zwei Punkte durch Kugelkoordinaten, so lautet die Abstandsfunktion

wobei der von den Vektoren und eingeschlossene Winkel ist. In Kugelkoordinaten ist

Entwickelt man nun, z.B. für die Funktion

in eine binomische Reihe

und sortiert nach Potenzen von

so erkennt man, dass die Koeffizienten der Potenzen von den Legendre Polynomen entsprechen. Der Beweis, dass dies für jede Ordnung gilt, kann geführt werden.

Das somit angedeutete Resultat kann in der Form

notiert werden. Es ist offensichtlich, warum die Funktion auf der linken Seite dieser Gleichung als erzeugende Funktion für die Legendreschen Polynome bezeichnet wird.

Ist so verläuft die Diskussion analog. Die übliche kompakte Notation für die Entwicklung der Abstandsfunktion ist

wobei und dem größeren bzw. dem kleineren der beiden Abstände und entsprechen. Explizit hat man

Die erzeugende Funktion ist nicht nur das Rückgrat der Entwicklung der Abstandsfunktion, sie stellt auch ein nützliches Instrument für die Diskussion verschiedener Eigenschaften der Legendrepolynome dar, so z.B. für die Gewinnung von