1 Heuristischer Zugang

Da sich die -Funktion in drei Raumdimensionen als eine einfache Erweiterung des Falles von einer Raumdimension herausstellt, ist es ausreichend, die -Funktion in einer Variablen zu betrachten. Übertragen auf diesen Fall lauten die zwei Forderungen (für eine Punktladung an der Stelle )

bzw. etwas allgemeiner (für eine Punktladung an der Stelle )

Es ist möglich, zu zeigen, dass die Grenzwertfunktion

die geforderten Eigenschaften besitzt. Dies ist nur eine von mehreren Möglichkeiten. Andere Grenzwertfunktionen, die die Forderung ebenfalls erfüllen, sind z.B.

Der Beweis der obigen Behauptung sieht folgendermaßen aus. Für die Funktion von zwei Variablen

gilt für alle Werte von der Grenzwert

Auf der anderen Seite notiert man jedoch

Zur Berechnung des uneigentlichen Integrals über die Funktion benötigt man die Schritte

Es folgt also

Es gilt auch

vorausgesetzt man wertet das eigentliche Integral aus, bevor die Grenzprozesse durchgeführt werden. In diesem Sinn können die Grenzprozesse und vertauscht werden.

Man kann explizit verfolgen, wie sich die Funktion in dem Grenzfall verhält.

Abbildung 1.1: Heuristische Definition der -Funktion

Die Funktion schrumpft für abnehmendes auf eine immer kleinere Umgebung des Punktes zusammen. Auf der anderen Seite wächst der Wert der Funktion in einer Weise, dass die Fläche unter der Kurve konstant bleibt. Die Darstellung des Grenzfalles ist natürlich nicht möglich.

Anhand dieser Betrachtungen würde man die folgende Charakterisierung der -Funktion geben: Die `Funktion` kann als Grenzwertfunktion von mit dargestellt werden. Dabei existiert der Grenzwert in dem üblichen Sinn nicht. Der Grenzwert des uneigentlichen Integrals mit dieser Funktion ist jedoch definiert.

Sitzt die Punktladung () in der eindimensionalen Welt nicht an der Stelle , sondern an einer beliebigen Stelle , so lautet die entsprechende Definition

Anhand dieser `Definition` kann man nun versuchen, die Eigenschaften der -Funktion zu diskutieren.