2 Rekursionsformeln.

Aus der Vielzahl von möglichen Rekursionsformeln wird hier nur eine Auswahl vorgestellt. Differenziert man die erzeugende Funktion nach der Größe

arrangiert das Resultat gemäß

und benutzt auf der linken Seite wiederum die erzeugende Funktion, so findet man, sortiert nach den gleichen Potenzen von ,

Da der Koeffizient von somit gleich Null ist, gewinnt man die Formel

Diese Formel erlaubt die Berechnung von , falls und bekannt sind. Diese Rekursionsformel findet weite Anwendung, z.B. auch für die numerische Tabellierung von Legendrepolynomen.

Eine weitere Klasse von Rekursionsformeln erlaubt die Darstellung der Ableitung der Legendrepolynome durch die Polynome selbst. Die Grundformel gewinnt man durch Differentiation der erzeugenden Funktion nach der Variablen

Man multipliziert dieses Resultat mit , benutzt die nach differenzierte erzeugende Funktion aus der vorherigen Betrachtung

und sortiert wieder nach Potenzen von

Das Endergebnis

erlaubt die Berechnung von Ableitungen der Legendrepolynome und erweist sich bei der Auswertung von Integralen mit Legendrepolynomen als nützlich.

Aus den zwei Grundformeln kann man weitere Rekursionsformeln gewinnen, so z.B.

Zum Beweis differenziert man (5) nach (benutze abgekürzte Schreibweise)

ersetzt mit (6)

und sortiert

Weitere Rekursionsformeln erhält man durch Kombination der schon gewonnen Formeln.