3 Die Formel von Rodriguez.

Eine kompakte und aus diesem Grund nützliche Darstellung der Legendreschen Polynome ist

Diese Formel, bekannt unter der Bezeichnung Formel von Rodriguez, kann direkt aus der Differentialgleichung der Legendrepolynome gewonnen werden. Man benutzt zur Abkürzung

und betrachtet die Relation

Differenziert man diese Gleichung mal unter Benutzung der Produktregel

so findet man unter Benutzung der Definition von

Die Größe erfüllt die Legendresche Differentialgleichung. Da ein Polynom der Ordnung in und die einzige Polynomlösung dieser Ordnung ist, sind und proportional zueinander. Den Faktor kann man durch explizite Auswertung von bestimmen. Man berechnet

und findet, dass für nur der Term mit beiträgt. Es ist also