4 Integrale mit Legendrepolynomen.

In vielen Situationen sind Integrale mit Legendrepolynomen zu berechnen. Ein guter Ausgangspunkt ist eine Umschreibung des Integrals

mit Hilfe der Formel von Rodriguez, wobei vorausgesetzt wird, dass die Funktion über dem Grundintervall definiert und mal stetig differenzierbar ist. Partielle Integration von

ergibt

Die Ableitungen von

enthalten wenigstens einen Faktor , so dass

ist. Damit erhält man für eine mal wiederholte partielle Integration

• Ist z.B. , so ist für die Ableitung
  
  
  
  
  Ist , so findet man das gleiche Resultat, da die Rolle der Indizes vertauscht werden kann. Für den Fall
  
  
  
  
  setzt man zur Berechnung der Ableitung noch einmal die Rodriguezformel ein. Es ist
  
  
  
  
  Für das verbleibende Integral
  
  
  
  
  kann man durch partielle Integration eine Rekursionsformel gewinnen. Man findet über
  
  
  
  
  die Rekursionsformel
  
  
  
  
  deren Auflösung mit die Aussage
  
  
  
  
  ergibt. Setzt man alle Teilergebnisse zusammen, so findet man
  
  
  
  
  Diese Relation wird als Orthogonalitätsrelation der Legendreschen Polynome bezeichnet. Deren Bedeutung wird in Math.Kap. 5 weiter ausgeführt.

• Für verläuft die Auswertung analog. Gemäß der Grundformel ist zunächst die -te Ableitung von zu bestimmen, die man mit
  
  
  
  
  notieren kann. Für ist dann das Integral
  
  
  
  
  zu berechnen. Partielle Integration ergibt für
  
  
  
  
  die Rekursionsformel
  
  
  
  
  die man beginnend mit
  
  
  
  
  auswertet. Es folgt dann für gerades
  
  
  
  
  so dass das Endresultat in der Form
  
  
  
  
  angegeben werden kann. Insbesondere für gewinnt man die oft benutzte Formel
  
  
  
  

Die Kombination dieser Grundintegrale mit Hilfe der Rekursionsformeln erlaubt die Berechnung einer Vielzahl von weiteren Integralen, so z.B.

Benutzt man hier die Rekursionformel (5)

sowie (6), so findet man

Auch die erzeugende Funktion kann mit Vorteil eingesetzt werden, so z.B. zur Berechnung des Integrals

über das halbe Grundintervall. Man beginnt mit

und integriert

Das Integral auf der linken Seite kann elementar ausgewertet werden

Entwickelt man nun die Wurzel, so erhält man auf der linken Seite

so dass man durch Vergleich der Faktoren der Potenzen von die gesuchten Integrale ablesen kann. Man findet