3 Die zugeordneten Legendreschen Funktionen

Ist die Separationskonstante des Winkelanteils in der Variablen nicht gleich Null, so erhält man die Differentialgleichung

die die zugeordneten Legendreschen Funktionen definiert. Anstelle der eigentlichen Separationskonstanten kann man von vorne herein benutzen, da die Lösungen dieser Differentialgleichung für in die Legendreschen Polynome übergehen und nur diese an den Stellen endlich sind.

Um die zugeordneten Legendreschen Funktionen zu bestimmen, macht man den Ansatz

und wählt so, dass die Singularität in dem zusätzlichen Term der Differentialgleichung aufgefangen wird. Man findet auf diese Weise . Setzt man den so gewonnen Ansatz

in die Differentialgleichung für diese Funktion ein, so findet man als Bestimmungsgleichung für die Restfunktionen

Man stellt eine gewisse Ähnlichkeit mit der einfachen Legendreschen Differentialgleichung

fest. In der Tat führt -malige Differentiation der Legendreschen Differentialgleichung auf die Gleichung

der man die Aussage

entnimmt. Die Lösung der vollständigen Legendreschen Differentialgleichung lautet somit

Die drei linken Einträge deuten Varianten in der Notation an, die in der Literatur anzutreffen sind. Das zusätzliche Vorzeichen, das infolge der Homogenität der Differentialgleichung möglich ist, entspricht der am meisten benutzten Konvention, doch ist es bei der Übernahme von Formeln aus der Literatur angebracht, die jeweilige Definition zu überprüfen. Die Funktionen sind an den Stellen endlich, wenn eine positive ganze Zahl ist Für jeden Wert von sind ganzzahlige -Werte mit zulässig. Die Ganzzahligkeit entspricht der Lösung der Differentialgleichung in der Variablen , die Beschränkung auf positive -Werte folgt aus der Methode mit der diese Funktionen gewonnen wurden, die obere Grenze tritt auf, da die Legendrepolynome Polynome vom Grad sind, deren -te Ableitung verschwindet.

Zu jeder regulären Lösung mit existiert ein linear unabhängiger Partner

der an den Grenzen des Grundintervalls logarithmisch divergiert.

Auch für die zugeordneten Legendreschen Funktionen, die aus einer Wurzel und einem Polynomanteil bestehen und in der Literatur auch als zugeordnete Legendresche Polynome bezeichnet werden, existiert ein umfangreicher Katalog von Eigenschaften. Die einfachsten Funktionen kann man direkt anhand der Definition

berechnen. Neben notiert man