1 Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen.

Die folgenden Relationen sollen hervorgehoben werden.

• Ist , so ist die Funktion unabhängig von und bis auf einen Faktor identisch mit den Legendrepolynomen
  
  
  
  
  Betrachte man Punkte auf der Einheitskugel in der - Ebene (), so findet man den speziellen Wert
  
  
  
  
  der sich aus dem Vorfaktor der ergibt. Nur für ist dieser Faktor für ungleich Null.
• Es gilt die Symmetrierelation
  
  
  
  
  Die Kugelflächenfunktionen mit positiven und negativen -Werten sind miteinander verknüpft. Da die komplexe Konjugation jedoch keine lineare Operation ist, bedeutet dies nicht, dass die Funktionen und linear abhängig sind.
• Das Grundintegral mit Kugelflächenfunktionen ist
  
  
  
  
  
  
  
  Die Funktionen sind auf der Kugelfläche orthogonal. Die Integration über liefert die Aussage, dass gleich sein muss, die nachfolgende Integration über ergibt dann mit dem Grundintegral für die zugeordneten Legendrefunktionen die Aussage: muss gleich sein. Die Faktoren in der Definition der Kugelflächenfunktionen sind so eingerichtet, dass das Integral den Wert hat.
• Die Kugelflächenfunktionen erfüllen die Differentialgleichung
  
  
  
  
  
  
  
  die dem Winkelanteil des Laplaceoperators entspricht. Die Kugelflächenfunktionen mit
  
  
  
  
  und den -Werten
  
  
  
  
  sind die einzigen regulären Lösungen dieser Differentialgleichung. Sie sind auf der Kugelfläche stetig, eindeutig und endlich.
• Eine Liste der einfachsten Funktionen ist
  
  
  
  
  
  
  

• Sind zwei Punkte auf einer Kugelfläche durch die Winkel und gegeben, so gilt für den Kosinus des eingeschlossenen Winkels (Abb. 4.3)
  
  
  
  

  Abbildung 4.3: Der Winkel zwischen zwei Raumrichtungen

  
  Das Legendrepolynom erfüllt dann das Additionstheorem
  
  
  
  
  Der Beweis dieses Theorems beinhaltet die Schritte: Man wertet das Greensche Theorem (1)
  
  
  
  
  
  
  
  mit den Funktionen
  
  
  
  
  aus, wobei ist. Das Gebiet ist eine Kugel mit dem Radius und dem Oberflächenelement . Da eine Lösung der Laplacegleichung und das Potential einer Punktladung ist, gilt
  
  
  
  
  Außerdem berechnet man die benötigte Komponente des Gradienten auf der Kugeloberfläche zu
  
  
  
  
  
  
  
  Setzt man diese Ausdrücke in das Greensche Theorem ein und sortiert, so erhält man
  
  
  
  
  Mit dem Argument, dass die Koeffizienten der Potenzreihe alle verschwinden müssen, folgt die Aussage
  
  
  
  
  Entwickelt man nun das Legendrepolynom nach Kugelflächenfunktionen
  
  
  
  
  wobei die Koeffizienten Funktionen der Winkel und sein müssen, so erhält man mit der Orthogonalitätsrelation der Kugelflächenfunktionen
  
  
  
  
  bzw. mit dem bereitgestellten Integral
  
  
  
  
  Nach einfacher Umbenennung folgt dann aus der Zerlegung von das Additionstheorem.

  Das Legendrepolynom ist eine reelle Funktion des Kosinus des eingeschlossenen Winkels. Die rechte Seite des Additionstheorems ist somit auch reell. Dies bedeutet einerseits, dass es keine Rolle spielt, welche der zwei Kugelflächenfunktionen komplex konjugiert ist
  

  
  
  
  Man kann, andererseits, die rechte Seite in einer etwas umständlicheren, doch manchmal benötigten, reellen Form schreiben